Фамилия Адауже — редкая и необычная для русского уха. Её происхождение, скорее всего, не славянское, а адыгское (черкесское). В этом случае основа фамилии — «Адау» или «Адауэ», что является одним из вариантов адыгского имени или родового имени.

В адыгской антропонимике фамилии часто образовывались от имён предков, прозвищ или названий местности. Корень «Адау» может восходить к слову «адауэ» — так в некоторых адыгских диалектах называют шакала. Прозвище «Шакал» давали быстрому, хитрому или ловкому человеку. В тюркских языках есть схожий корень «адау» со значением «остров», но для адыгской фамилии это менее вероятно.

Суффикс «-же» (или «-жэ») в адыгских фамилиях — патронимический, указывающий на принадлежность к роду. Таким образом, Адауже буквально означает «из рода Адау» или «потомок Адау». Фамилия закрепилась в среде адыгов (черкесов), в том числе в Кабардино-Балкарии, Адыгее и в черкесской диаспоре за рубежом. При переходе в русскую документацию написание «Адауже» могло упроститься или зафиксироваться в такой форме.

Искать прямые славянские корни у этой фамилии смысла нет — она чётко указывает на кавказское происхождение. Если носитель фамилии живёт в русскоязычной среде, его предки, скорее всего, были адыгами, переселившимися или интегрировавшимися в российскую культуру в XIX–XX веках.