Фамилия Аджимурзаев — один из тех случаев, когда русская патронимическая модель (-ев) наложилась на сложносоставное тюркское имя, и получилось имя-титул, закреплённое в роду. Разберём этот сплав по частям.

В основе — составное имя Аджи-Мурза. Первая часть, «аджи» (или «хаджи»), — это не имя, а почётный титул в исламе. Его получал мусульманин, совершивший хадж — паломничество в Мекку. В тюркской и кавказской среде этот титул часто становился частью личного имени, особенно если человек совершил паломничество в зрелом возрасте. Вторая часть — «мурза» — происходит от персидского «мирза» (эмир-заде, буквально «княжич» или «знатный»). У ногайцев, кумыков, татар и народов Северного Кавказа «мурза» обозначало представителя привилегированного сословия, военного предводителя или крупного землевладельца.

Таким образом, Аджимурза — это человек, соединивший в себе два статуса: религиозный авторитет (паломник) и светское знатное происхождение. Русский суффикс -ев добавили к этому имени по стандартной модели, означающей «сын такого-то» или «из рода такого-то». То есть Аджимурзаев — буквально «сын Аджимурзы».

Географически фамилия плотно привязана к Северному Кавказу. Основные регионы — Чечня и Ингушетия, где имя Хьаж-Мурза (местное произношение) было распространённым, а также кумыкские и ногайские роды Дагестана. У чеченцев и ингушей фамилия фиксируется в разных тейпах, где сочетались религиозное благочестие и знатность. У кумыков носители таких фамилий чаще всего относились к сословию узденей — свободных землевладельцев, которые имели достаточно средств и статуса, чтобы совершить хадж и получить приставку «Аджи».

Обратите внимание на написание через «дж». В русской графике тюркский звонкий аффрикат (звук, похожий на слитное «д+ж») передают по-разному. Вариант Аджимурзаев точнее исходного произношения, чем, скажем, Ажимурзаев или Агимурзаев. Встречается и форма Аджимурзаев — это не ошибка, а орфографическая вариация, связанная с тем, что на письме «дж» иногда упрощают до «ж» или «г» в разных диалектах.

Социальный контекст: в XIX — начале XX века носители фамилии были в основном из зажиточных крестьян или мелких землевладельцев, реже — из сельского духовенства (мулл и эфенди). Фамилия не давала формального российского дворянства, но в своей среде указывала на уважаемый, даже почётный статус предка. В советское время фамилия не исчезла, но многие её носители разъехались по стране, так что сегодня Аджимурзаевы встречаются не только на Кавказе, но и в Москве, в Поволжье и в Сибири.