Фамилия Аезжева — редкий случай, когда написание расходится с произношением. На слух она звучит как «Аезжева», но если записать её в XIX веке, когда приказные люди и священники фиксировали фамилии по слуху, варианты могли быть разными. Скорее всего, в основе лежит прозвище «Езжий» или «Езжой» — от глагола «ездить». В русских говорах «езжий» означало бывалого, много путешествовавшего человека, а также ямщика или гонца. Суффикс «-ев» указывает на принадлежность: Аезжев — сын Езжего.

Ударение в фамилии падает на второй слог: А-Е́з-же-ва. Именно буква «Е» после гласной «А» создаёт звук «йэ», который на письме сохранился как «е». Это особенность старой орфографии — приставка или первая часть слова «а-» могла быть диалектным вариантом «о-» (ср. «акающие» говоры). В таком случае «Аезжев» — это «Оезжев», то есть «объезжий», человек, который объезжает территорию: объездчик, сторож, лесник.

Есть и более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть от имени или прозвища «Аеж» — возможно, искажённого тюркского или финно-угорского имени. Но она менее вероятна, так как в русской ономастике модель «прозвище по действию + суффикс принадлежности» встречается гораздо чаще, чем заимствованные личные имена с редким суффиксом.

Географически фамилия Аезжева встречается единично, преимущественно в центральных и северных областях России — там, где в XVII–XVIII веках была развита ямская гоньба и служба объездчиков. Носители фамилии, скорее всего, происходили из крестьян или служилых людей, чья работа была связана с передвижением и дорогами. Сословных перегородок для такой фамилии не было: «езжими» могли называть и вольных ямщиков, и дворовых, и казаков.

В написании «Аезжева» сохранилась буква «е» после гласной, что для русского языка редкость. Обычно такие фамилии со временем упрощались до «Езжев» или «Езжов». Если ваша фамилия именно в такой форме — перед вами архаичный, почти музейный вариант, который не стёрли реформы орфографии.