Фамилия Агзибеков — редкая, и её разбор сразу уводит на Кавказ. Основа здесь — мужское имя Агзибек, которое, скорее всего, имеет тюркское или тюрко-персидское происхождение. Первая часть, «агзы» или «агзи», в тюркских языках может означать «рот», «устье», «отверстие», но в составе личных имён она чаще выступает как усечённая форма от «аг» (белый, чистый) или как часть сложного эпитета. Вторая часть — «бек» — это классический тюркский титул, обозначающий князя, господина или военачальника. Таким образом, имя Агзибек могло значить «белый/чистый господин» или «господин с чистым ртом», то есть правдивый, честный в слове.

Суффикс «-ов» указывает на русскую модель образования фамилий от отчества: Агзибеков — это «сын Агзибека». Такая адаптация характерна для народов, вошедших в состав Российской империи, особенно для тюркоязычных и кавказских групп, чьи имена записывали по русскому образцу. Географически фамилия тяготеет к Дагестану, Чечне и другим республикам Северного Кавказа, где титул «бек» был распространён, а имя Агзибек (в вариантах Агзибек, Агзыбек) встречается у кумыков, лезгин или аварцев.

Спорных версий немного, и они слабы. Иногда «агзи» пытаются возвести к арабскому «азиз» (дорогой, могучий), но это фонетически натянуто: переход «з» в «гз» нехарактерен. Правдоподобнее тюркское происхождение, где «агзи» — вариант произношения слова «агуз» (рот) в родительном падеже, что давало бы значение «рот бека», но это скорее прозвище, а не личное имя. Однако в ономастике закрепилось именно понимание Агзибека как полноценного составного имени с титулом.

Социальный контекст прост: предки носителя фамилии, вероятно, принадлежали к сословию узденей (свободных общинников) или бекам в горских обществах, где титул «бек» передавался по наследству. Фамилия не даёт указания на конкретное ремесло, но говорит о родовом статусе. Встречаемость её крайне низкая, поэтому каждый носитель Агзибеков — носитель локальной, почти микроистории, связанной с конкретным родом и аулом.