Фамилия Агзибекова — редкий случай, где за необычным звучанием скрывается сразу несколько возможных историй, и ни одна из них не очевидна с первого взгляда. Её основа, скорее всего, восходит к тюркскому мужскому имени Агзибек или Агзыбек. Разбираем эту конструкцию: вторая часть — «бек» — это широко известный княжеский или военный титул у народов Кавказа, Поволжья и Средней Азии. С первой частью сложнее. В тюркских языках «агзы» (или «агзи») может означать «рот», «устье», но в составе личных имён чаще выступает как фонетический вариант «ак» — «белый», «чистый». Хотя встречаются и версии, связывающие корень с понятиями «горный» или «старший». Таким образом, имя Агзибек могло означать «белый (чистый) князь» или «старший господин».

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе «Агзибек» добавили суффикс -ов, а затем женское окончание -а. Мужской вариант, соответственно, — Агзибеков. В русской ономастике фамилии на -ов/-ев типичны для крестьян и мещан, но здесь они прикрепились к тюркской основе. Это прямое указание на давнюю ассимиляцию носителей в русскоязычной среде, вероятно, после XVIII века, когда многие народы империи получали фамилии по отчеству.

Географически фамилия встречается преимущественно в регионах с тюркским населением: в Дагестане, Татарстане, Башкортостане, а также среди казахов и ногайцев. Встречаемость крайне низкая — Агзибекова не входит в списки распространённых фамилий даже в этих республиках. Такая редкость часто указывает на локальное происхождение: например, от конкретного рода или аула, где имя Агзибек было популярно в прошлом.

Интересная деталь: в некоторых тюркских языках, особенно в кумыкском и ногайском, существует слово «агъзы» (устье, вход). Это порождает альтернативную гипотезу: фамилия могла быть связана с географическим объектом — «человек из устья реки». Но эта версия слабее, так как личные имена с компонентом «бек» в тюркской традиции доминируют, и прозвище по месту жительства с титулом «бек» — сочетание маловероятное. Сословно предки Агзибековых могли быть как из служилых людей (беков), так и из свободных крестьян — титул «бек» в имени не обязательно означал знатность, часто его давали как пожелание или прозвище.

Если искать однокоренные фамилии, то в той же группе окажутся Агзабеков, Акбеков, Агзыбеков — все они варьируются в зависимости от диалекта или записи в документах XIX века. Разница в написании (Агзибеков или Агзыбеков) часто объясняется ошибками переписчиков, которые фиксировали звуки «ы» и «и» на слух, не вникая в тонкости местного произношения.