Фамилия Ахметишн — редкий случай, когда носитель почти наверняка может определить свои корни, даже не заглядывая в архив. Её основа и суффикс не оставляют сомнений: фамилию образовали от личного имени Ахмет (арабское Ahmad — «достохвальный», один из эпитетов пророка Мухаммеда) с помощью восточного патронимического суффикса -ишн.

Именно этот суффикс — ключ к происхождению. В русской ономастике типичны фамилии на -ов/-ев, -ин, -ский. Формант -ишн встречается в основном у народов Кавказа, особенно у армян (сравните: Петросян, Арутюнян). Но здесь он присоединён к тюркскому имени Ахмет. Такое сочетание указывает на этнически смешанную среду: скорее всего, предок носителя фамилии был тюркоязычным мусульманином (татарином, азербайджанцем, кумыком), но жил в регионе, где на формирование фамилий повлияли армянские модели словообразования. Это характерно для Закавказья — районов исторического соседства армян и тюркских народов (Нагорный Карабах, Ширван, юг Дагестана).

Вероятный сценарий: предка звали Ахмет, а его сыновей или потомков в быту называли «Ахметишн» — «из рода Ахмета», «принадлежащие Ахмету». Армянский суффикс -ян/-янц в разговорной речи мог редуцироваться до -ишн, особенно в диалектах, где звук «ш» заменял «ц» или «ч». В советских документах азербайджанские и дагестанские фамилии нередко русифицировали, заменяя окончания, но исходная форма Ахметишн сохранила именно этот редкий маркер межэтнического контакта.

Сословной принадлежности по одной фамилии не установить: Ахметами называли и зажиточных купцов, и сельских ремесленников. Но география бытования узкая — вероятнее всего, носители фамилии исторически связаны с Закавказьем или Северным Кавказом. Если вы встретили Ахметишна за пределами этих регионов, скорее всего, это результат миграции XX века.