Фамилия Аконская — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает прозвищную версию. Это женская форма фамилии Аконский, и её происхождение логичнее всего связывать с названием населённого пункта. На карте России и сопредельных территорий можно найти несколько мелких топонимов с корнем «акон» — например, река Акон (приток Буреи в Хабаровском крае) или урочища с похожим именем. В таком случае предок носителя фамилии получил её по месту жительства: выходец из села или деревни Аконка, Аконово или просто с берегов реки Акон. Формант -ский в таких фамилиях типичен для дворянских или духовных родов, но в XIX веке его активно давали и крестьянам, переселившимся в другие губернии, — это указывало на «откуда родом», а не на сословие.

Менее вероятна, но не исключена версия от прозвища. В некоторых говорах «аконь» могло быть искажением слова «окунь» (с аканьем: акунь → аконь). Тогда Аконский — потомок человека по прозвищу Аконь, то есть Окунь. Однако для такой гипотезы нет устойчивой диалектной базы: форма «аконь» не зафиксирована в авторитетных словарях русских говоров как самостоятельное прозвище. Поэтому топонимическое объяснение остаётся основным.

Обратите внимание на окончание -ая в женском варианте: это не ошибка, а стандартная падежная форма прилагательного в именительном падеже (ср. Иванов — Иванова, но Кузнецкий — Кузнецкая). Фамилия Аконская склоняется по правилам прилагательных: Аконской, Аконскую и т. д.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По открытым данным переписей, основные носители сосредоточены в центральной России и на юге Сибири, что косвенно подтверждает связь с дальневосточным топонимом: переселенцы с Амура или Буреи могли осесть в европейской части страны в ходе столыпинской реформы или более поздних миграций. Если вы носитель этой фамилии, поиск в архивах стоит начинать с метрических книг по Томской или Иркутской губерниям — именно там чаще всего фиксировали выходцев с востока.