Фамилия Аксиненако — редкий случай, когда в основе лежит не русское, а греческое имя, и при этом фамилия оформлена по украинской модели. Разберём её по частям.

Корень фамилии — женское имя Аксинья. Это народная, восточнославянская форма греческого имени Ксения (Xenia), что значит «гостеприимная», «странница» или «чужая». В русских говорах имя Ксения превратилось в Аксинью, а в украинских — в Оксану. Так что Аксиненако — это «человек, связанный с Аксиньей».

Самый интересный элемент — суффикс -енко. В украинской ономастике это типичный патронимический суффикс, означающий «сын» или «потомок». Фамилии на -енко массово формировались в Центральной и Левобережной Украине (Полтавщина, Черниговщина, Киевщина) в XVII–XVIII веках. Обычно они образовывались от имени отца: Ива́ненко — сын Ивана. Но здесь основа — женское имя Аксинья. Это нестандартный случай: фамилия могла возникнуть, если мать была единственной кормилицей, вдовой, или если ребёнок воспитывался в доме Аксиньи. В казацкой среде такие «матронимические» фамилии встречались, но редко, и часто указывали на внебрачное происхождение или особую роль женщины в хозяйстве.

Форма Аксиненако, а не Аксиньенко, подсказывает, что в основе лежал украинский вариант имени: скорняженное Аксиня (без мягкого знака) или диалектное Оксеня. Суффикс -енко слился с основой, дав на выходе Аксиненако. Это не ошибка письма, а живой процесс: фамилии часто фиксировали произношение, а не книжную норму.

Географически фамилия тяготеет к юго-востоку Украины — к бывшим землям Запорожской Сечи и Слобожанщине. Там фамилии на -енко особенно распространены, а греческие имена могли попасть через церковные святцы и торговые контакты с Причерноморьем. В России фамилия встречается единично, скорее всего, как результат переселений в XIX–XX веках.

Сравните с однокоренными: Аксёнов (русская фамилия от имени Аксён, производного от Ксении), Оксененко (украинская, от Оксаны). Аксиненако выделяется именно женской основой и редким суффиксальным оформлением. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, происходил из украинской крестьянской или казачьей среды, а сама фамилия хранит память о конкретной женщине по имени Аксинья — возможно, его прабабке, которая дала роду прозвище.