Фамилия Алейши — довольно редкая, и её происхождение неочевидно с первого взгляда. В русском языке такое окончание нетипично: большинство фамилий заканчивается на -ов, -ин, -ский. Окончание -иши (или -ейши) выдает в ней, скорее всего, белорусские или западнорусские корни, где сохранились старые модели словообразования. Скорее всего, перед нами фамилия, образованная от имени или прозвища через суффикс -иш-, который в славянских языках часто придавал уменьшительно-ласкательное или, наоборот, пренебрежительное значение. В основе лежит имя Алексей (в народной форме Алей, Лексей) или его производное Алейша. То есть Алейши — это буквально «сын (или потомок) Алёши».

Если смотреть на суффикс подробнее, то в белорусской и украинской традиции фамилии на -иш(а) встречаются чаще, чем в великорусской. Например, Гавриш, Демиш, Кузьмиш. Они образовывались от разговорных форм крестильных имён. Фамилия Алейши, таким образом, стоит в том же ряду, что и более привычные Алёшин или Алексеев, но с другим суффиксом. Она могла закрепиться в формах родительного падежа (кого? — Алейши), что характерно для некоторых западнорусских говоров, или же быть зафиксирована в документах именно в такой, усечённой форме.

С географией сложно: фамилия не массовая. Можно предположить, что её носители исторически жили на территории современной Беларуси, Смоленской или Брянской областей, где были сильны диалектные особенности. Встречаются и единичные случаи в Литве и Польше, что объясняется сложным этническим составом Великого княжества Литовского. В любом случае, предок человека с фамилией Алейши, скорее всего, был простого звания — крестьянин или мещанин, которого в быту звали просто Алейша, а его детей и внуков уже записывали по отцу: «Алейшины дети», что со временем превратилось в застывшую фамилию.

Интересно, что в русском языке есть похожая фамилия Алейников, образованная от названия профессии (алейник — торговец олифой или маслом). Но Алейши с этим корнем не связана: здесь нет суффикса профессии -ник, зато есть личное именование. Так что этимология здесь чисто патронимическая, то есть по отцу.