Фамилия Алейши — одна из тех, что сбивает с толку своим окончанием. В русском языке привычны фамилии на -ов, -ин, -ский, а тут — -иши, и это не случайность. Такое окончание выдает в фамилии белорусские или западнорусские корни, где сохранились старые модели словообразования. Перед нами патронимическая фамилия, то есть образованная по отцу, и её основа — разговорная форма имени Алексей.

В основе лежит народная форма Алей или Алейша — производное от Алексей, а точнее, от просторечного Алёша. Суффикс -иш- в славянских языках многозначен: он мог придавать уменьшительно-ласкательный оттенок (как в «братишка») или, наоборот, пренебрежительный. В белорусской и украинской традиции фамилии на -иш(а) встречаются гораздо чаще, чем в великорусской: вспомните Гавриш, Демиш, Кузьмиш. Они образовывались от разговорных форм крестильных имён. Фамилия Алейши стоит в том же ряду, что и более привычные Алёшин или Алексеев, но с другим, более редким суффиксом.

Форма Алейши — это, скорее всего, родительный падеж (кого? — Алейши), что характерно для некоторых западнорусских говоров. Такая запись могла закрепиться в документах: «сын Алейши» со временем превратилось в застывшую фамилию. То есть буквально фамилия означает «сын (или потомок) Алёши».

География фамилии неширокая, что подтверждает её редкость. Носители исторически жили на территории современной Беларуси, а также в Смоленской и Брянской областях — там, где были сильны диалектные особенности. Встречаются единичные случаи в Литве и Польше, что объясняется сложным этническим составом Великого княжества Литовского. Социальный контекст тоже прочитывается: предок человека с фамилией Алейши, скорее всего, был простого звания — крестьянин или мещанин, которого в быту звали просто Алейша, а его детей и внуков уже записывали по отцу.

Важно не путать фамилию Алейши с похожей фамилией Алейников. Алейников образована от названия профессии (алейник — торговец олифой или маслом), и там работает суффикс -ник. В фамилии Алейши этого суффикса нет, зато есть личное именование. Так что этимология здесь чисто патронимическая, без связи с ремеслом.