Фамилия Альясте — редкий случай в русском ономастиконе. Она почти не встречается в центральных областях России, зато хорошо известна в Эстонии и среди сету (православных эстонцев). Это не случайность: перед нами фамилия, которая пришла в русский язык из прибалтийско-финской среды.

Разбираем её по составу. Основа «алья» восходит к эстонскому «alja» — так называют мелкую рыбёшку, снетка или ряпушку. Суффикс «-сте» — типичный для эстонских фамилий патронимический или локативный показатель, примерно соответствующий русскому «-ов» или «-ский». Буквально Альясте можно перевести как «сын Альи» или «человек, связанный с Альей». Но вряд ли предок был сыном человека по имени Алья: скорее всего, прозвище получил рыбак или торговец рыбой. В эстонских говорах «aljas» также могло означать «низина, топь» — тогда фамилия указывала на место жительства у сырого луга.

В Российской империи фамилии такого типа фиксировались в основном у чудского и сетуского населения Псковской и Петербургской губерний. После присоединения Эстонии к СССР часть носителей фамилии оказалась в русскоязычной среде, и написание закрепилось без эстонских диакритических знаков — Альясте вместо Aljaste. В современной России фамилия остаётся штучной: по открытым данным, её носят не более нескольких десятков человек, сосредоточенных на северо-западе страны.

Словообразовательная модель здесь не русская, поэтому привычные суффиксы «-ов» или «-ин» отсутствуют. Фамилия не склоняется по падежам в мужском роде (Иван Альясте, Петра Альясте), что тоже выдает её иноязычное происхождение. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был выходцем из прибалтийских губерний — крестьянином-рыбаком или жителем приозёрных болотистых мест.