Фамилия Амгайзер — редкая для России, и её происхождение лежит за пределами славянского мира. Перед нами фамилия немецкого или ашкеназского корня, и её разбор сразу даёт ключ к занятиям предка. Основа «ам» в немецком языке — это слившийся предлог «an dem» (у, при), а «гайзер» — диалектный вариант слова «Geiser» или «Gaiser». В верхненемецких говорах так называли человека, который пасёт коз (от «Geiß» — коза). Получается прозвище «тот, кто при козах» — козий пастух. Такая модель образования фамилий (предлог + профессия) типична для юга Германии, Австрии и Швейцарии, где подобные составные имена были в ходу.

Вторая версия, менее вероятная, возводит «Гайзер» к древневерхненемецкому «gīs» (копьё). Тогда «Амгайзер» могло означать «у дома Копьеносца». Однако для фамилии, закрепившейся в русском контексте, первая версия с пастухом выглядит логичнее: бытовые «ремесленные» прозвища чаще переходили в фамилии, чем прозвища, связанные с оружием. Обратите внимание на отсутствие в фамилии типичных русских суффиксов (-ов, -ин) — это верный признак того, что её принесли в Россию уже в готовом виде и зафиксировали в документах без русификации.

В России фамилия Амгайзер встречается единично. Она могла попасть сюда вместе с немецкими колонистами, которых приглашала Екатерина II в XVIII–XIX веках, или с еврейскими переселенцами, которые нередко получали фамилии на немецкий манер при записи в метрические книги. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из немецкоязычных земель, и их далёкий предок занимался скотоводством — пас коз. Учитывая редкость фамилии, её носители, вероятно, происходят из одной или нескольких семей, сохранивших первоначальное написание без изменений.