Фамилия Амгайзер — редкая для России, и её происхождение лежит за пределами славянского мира. Скорее всего, перед нами фамилия немецкого или еврейского (ашкеназского) корня. Если разложить её на части, то основа «ам» в немецком языке может быть предлогом «an dem» (у, при), слившимся с артиклем, а «гайзер» — это диалектный вариант слова «Geiser» или «Gaiser». В верхненемецких говорах так называли человека, который пасёт коз (от «Geiß» — коза). Получается прозвище «тот, кто при козах» — козий пастух. Такая модель образования фамилий (предлог + профессия) типична для юга Германии, Австрии и Швейцарии.

Вторая версия, менее вероятная, но тоже возможная: «Гайзер» может восходить к «Geiser» — от древневерхненемецкого «gīs» (копьё). Тогда «Амгайзер» — это указание на место жительства: «у дома человека по прозвищу Копьеносец» или «у копейщика». Однако для фамилии, закрепившейся в русском контексте, первая версия с пастухом выглядит логичнее: такие «ремесленные» прозвища чаще переходили в фамилии.

В России фамилия Амгайзер встречается единично. Она могла попасть сюда вместе с немецкими колонистами, которых приглашала Екатерина II в XVIII–XIX веках, или с еврейскими переселенцами, которые нередко получали фамилии на немецкий манер при записи в метрические книги. Характерно, что в фамилии нет типичных русских суффиксов (-ов, -ин), что указывает на её позднее закрепление в документах без русификации.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из немецкоязычных земель, и их далёкий предок занимался скотоводством — пас коз. Учитывая редкость фамилии, её носители, вероятно, происходят из одной или нескольких семей, сохранивших первоначальное написание без изменений.