Фамилия Амирбеги — один из тех случаев, когда происхождение читается почти без искажений. Она напрямую восходит к составному тюркскому имени или титулу Амирбек (Амирбег). Первая часть, «амир», — арабская, означает «повелитель», «князь»; вторая, «бек» (или «бег»), — тюркский титул знати и военачальника. В сумме «амир-бек» — это «князь князей» или «главный господин», что подчеркивает исключительно высокое положение человека.

Сама фамилия образована по модели, типичной для народов Кавказа и Закавказья, особенно для азербайджанской, дагестанской и отчасти грузинской ономастики. Формант «-и» в финале — показатель принадлежности (сравните с грузинскими фамилиями на -иа, -дзе или азербайджанскими на -лы/-ли, -заде). В данном случае он выполняет роль, близкую к русскому суффиксу «-ов»: «из рода Амирбека». То есть Амирбеги — это не просто «Амирбек», а потомок того, кто носил это имя-титул.

Географически фамилия наиболее вероятна для Азербайджана, Дагестана (особенно лезгинских и аварских селений) и, возможно, для северо-западного Ирана (историческая область Иранский Азербайджан). В России она встречается крайне редко и почти всегда у выходцев из указанных регионов. Фактически, это не столько крестьянская фамилия, сколько указание на происхождение из привилегированного слоя — бегов, беков, местной знати. В дореволюционном Дагестане и Закавказье титул «бек» был наследственным, и фамилия Амирбеги могла закрепиться за родом, ведущим начало от уважаемого военачальника или правителя.

Обратите внимание на грамматическую особенность: в отличие от русских фамилий, здесь нет суффикса, меняющего ударение или склонение. Амирбеги не склоняется по падежам в русском языке (кто? Амирбеги, кому? Амирбеги). Это характерный признак фамилий, пришедших из тюркских и кавказских языков, где форма на «-и» застывает и не подчиняется правилам русской грамматики. Поэтому человек с такой фамилией, скорее всего, слышал в свой адрес путаницу с ударением (обычно на последнем слоге: АмирбегИ) и вопросы о склонении — правильный ответ: никак.