Фамилия Амирбеги — один из тех случаев, когда фамилия говорит о происхождении почти без искажений. Она явно восходит к составному тюркскому имени или титулу Амирбек (Амирбег), где первая часть «амир» — арабского происхождения, означает «повелитель», «князь», а вторая, «бек» (или «бег») — тюркский титул знати, военачальника. Иными словами, «амир-бек» — это «князь князей» или «главный господин», подчеркивающий высокое положение человека.

Сама фамилия образована по модели, характерной для народов Кавказа и Закавказья, особенно для азербайджанской, дагестанской и отчасти грузинской ономастики. Формант «-и» в финале — это, скорее всего, показатель принадлежности (сравните с грузинскими фамилиями на -иа, -дзе или азербайджанскими на -лы/-ли, -заде). В данном случае он выполняет роль, близкую к русскому суффиксу «-ов»: «из рода Амирбека». То есть Амирбеги — это не просто «Амирбек», а «относящийся к Амирбеку», потомок того, кто носил это имя-титул.

Географически фамилия Амирбеги наиболее вероятна для Азербайджана, Дагестана (особенно лезгинских и аварских селений) и, возможно, для северо-западного Ирана (историческая область Иранский Азербайджан). В России фамилия встречается, но крайне редко, и почти всегда у выходцев из указанных регионов. Фактически, это не столько крестьянская фамилия, сколько указание на происхождение из привилегированного слоя — бегов, беков, местной знати. В дореволюционном Дагестане и Закавказье титул «бек» был наследственным, и фамилия Амирбеги могла закрепиться за родом, который вел свое начало от уважаемого военачальника или правителя.

Одно из отличий этой фамилии от распространенных русских — в ней нет суффикса, меняющего ударение или склонение. Она не склоняется по падежам в русском языке (кто? Амирбеги, кому? Амирбеги). Это характерный признак фамилий, пришедших из тюркских и кавказских языков, где форма на «-и» застывает и не подчиняется правилам русской грамматики. Поэтому человек с фамилией Амирбеги, скорее всего, слышал в свой адрес и путаницу с ударением (обычно на последнем слоге: АмирбегИ), и вопросы о том, как её правильно склонять — а правильный ответ: никак.