Фамилия Амирбег — редкий случай, когда исходная тюрко-персидская форма почти не изменилась, не обрастая русскими суффиксами. Она сложена из двух титулов: «амир» (арабское «эмир» — повелитель, князь) и «бег» (тюркский титул, соответствующий господину или князю). Получается двойное усиление — что-то вроде «князь из князей» или «господин-повелитель». Такие конструкции были в ходу среди мусульманской знати на Кавказе и в Средней Азии, где любили нанизывать титулы для подчёркивания статуса.

Отсутствие суффиксов -ов, -ев или -ин — главная подсказка. Фамилия вошла в русскую культуру поздно, скорее всего, в конце XIX — начале XX века, как прямая запись уже готового имени или прозвища в документах. Носители, вероятно, происходят из азербайджанской, дагестанской или лезгинской среды, где титул «бек» был распространён, а «Амир» могло быть личным именем отца. По сути, фамилия означает «сын Амирбека» или просто «Амирбеков», но без русифицирующего суффикса.

По социальному происхождению предки относились к местной знати — бекам или старшинам. В Российской империи титул «бек» официально не признавали, но на бытовом уровне он сохранялся, и многие выходцы из горских обществ записывали такие прозвища как фамилии. Встретить фамилию Амирбег можно у лезгин, аварцев, азербайджанцев, реже — у кумыков.

Интересная деталь: в старых записях фамилию могли писать слитно (Амирбег) или раздельно (Амир-Бек). В советское время при паспортизации закрепился слитный вариант, но в дагестанских документах 1920-х годов попадается и форма «Амирбеков». Если ваш предок носил фамилию Амирбег, а не Амирбеков, это указывает на то, что её записали в исходном виде, без русификации, что для массовой паспортизации редкость.