Фамилия Анави — редкая и неочевидная для русского уха. Если смотреть на неё через привычную для русских фамилий модель, то первое, что бросается в глаза: нет суффикса. В исконно русских фамилиях почти всегда есть -ов, -ин, -ский. Здесь же — чистая основа, что сразу указывает на нерусское происхождение.

Скорее всего, фамилия Анави — это русифицированная форма фамилии с Кавказа или Ближнего Востока. Самый прямой путь — к грузинской фамилии Ананиашвили или Ананов, где корень «Анан» восходит к библейскому имени Анания (в переводе с иврита — «Бог милостив»). При переезде в русскоязычную среду такие фамилии часто усекали до короткого звучания, отбрасывая грузинские суффиксы -швили или -дзе. В этом случае Анави — это либо искажённое Анани (от Анания), либо вариант, где конечное «-ви» — остаток от фамильного окончания.

Есть и вторая версия, менее вероятная, но возможная: фамилия могла возникнуть как прозвище в среде старообрядцев или крестьян северных губерний. Там встречались фамилии, образованные от местных диалектных слов. Например, «анава» или «анавий» в некоторых говорах означало нечто связанное с обманом, хитростью, но эта гипотеза не имеет серьёзного подтверждения в ономастических словарях.

Географически фамилия Анави встречается в России крайне редко, в основном в крупных городах, что типично для фамилий, принесённых мигрантами из Закавказья в XX веке. В Грузии же, напротив, корни Ананиашвили уходят глубоко: известен грузинский род Ананиашвили из Кахетии, связанный с духовенством и княжескими домами. Если ваш предок носил фамилию Анави, есть большая вероятность, что он был выходцем из Грузии или имел предков-священнослужителей.

Что касается ударения: в русском языке его чаще ставят на последний слог — Анави́, по аналогии с грузинскими фамилиями. Но в быту встречается и ударение на первый слог — А́нави, что сближает её с литовскими или латышскими фамилиями, где такие окончания встречаются чаще. Однако литовская версия (от корня «anas» — «тот») выглядит натянутой для русской среды.