Фамилия Анбаев — редкий случай, когда тюркская основа почти полностью вытеснила славянское оформление, но суффикс всё равно выдаёт русскую или крещёную среду бытования. Разберём её по косточкам.

Основа «Анба» восходит к тюркскому личному имени Анба (Анпа, Анбай). В казахском, татарском, башкирском языках «ан» означает «сознание, ум», а «бай» — «богач, хозяин». Сложенное имя Анбай можно перевести как «богатый умом» или «мудрый господин». Встречается также вариант, где «ан» — это «зверь, дичь» (охотничий промысел), но для личного имени первая версия правдоподобнее.

Фамилия образована по русской модели с суффиксом -ев, который присоединяется к основам на мягкий согласный или гласный. В тюркских фамилиях, попавших в русскую среду, -ев часто заменяет исконный тюркский суффикс принадлежности (-лы, -ны) или просто оформляет имя как фамилию. То есть Анбаев — это буквально «сын Анбая» или «из рода Анбая».

Географически фамилия тяготеет к регионам Поволжья, Приуралья и Западной Сибири — местам компактного проживания татар, башкир, казахов. Встречается и у русских, но почти всегда с тем же корнем: предок мог получить прозвище по тюркскому имени, либо сам был крещёным татарином. В дореволюционных метрических книгах, особенно по Оренбургской и Уфимской губерниям, фамилия фиксируется с середины XIX века.

Интересная деталь: в некоторых говорах начальное «Ан» могло переосмысливаться как русское «ан» — усилительная частица («ан нет», «ан глядь»). Но для фамилии это вторичное, народное переосмысление, не имеющее отношения к этимологии. Исходное имя Анбай — древнее, встречается ещё в средневековых тюркских родословных, хотя массовым никогда не было.

Таким образом, Анбаев — это фамилия-память о тюркском предке, которого в русской среде называли по имени Анбай. Носители фамилии, скорее всего, потомки крещёных татар или башкир, либо русских, взявших фамилию от тюркского прозвища.