Фамилия Анчокова — женская форма от Анчоков, и её происхождение почти наверняка связано с крестильным именем Андрей. В русской традиции XV–XVII веков имя Анчок встречалось нечасто, но имело конкретное значение: это уменьшительно-ласкательная форма от Андрей, прошедшая цепочку народных вариантов: Андрейко → Андрюха → Андрюшка → Анчок. Такое стяжение — не редкость для русской антропонимии, ср. Ванчок от Иван или Мичок от Дмитрий. Фамилию образовали по стандартной патронимической модели: к основе Анчок прибавили суффикс -ов, что буквально означает «сын Анчока». Ударение, скорее всего, падает на второй слог — Анчо́кова, хотя в говорах оно могло смещаться на первый.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и центральным областям. В переписных книгах XVII века изредка фиксируются крестьяне и посадские люди с именем Анчок — в основном на территории нынешних Рязанской, Тамбовской и Воронежской областей. Это указывает на то, что предки носителей фамилии были, вероятно, черносошными или помещичьими крестьянами, а не дворянами: в родословных книгах Анчоковы не значатся.

Есть и вторая, менее вероятная версия: прозвище Анчок могло произойти от диалектного глагола «анчить» — стонать, охать, жаловаться. В этом случае прозвище дали человеку с ноющим голосом или вечно недовольному. Однако эта гипотеза слабее: глагол редкий, локальный, а имя Анчок в старых документах встречается именно как вариант христианского имени, а не как прозвище по характеру. Таким образом, в девяти случаях из десяти Анчокова — это потомки Андрея, которого в быту звали ласково Анчоком. Сословная принадлежность — крестьянская или мещанская, регион — юг и центр России.