Фамилия Ангажи — редкий свидетель французского влияния на русскую культуру, пришедший в Россию не через славянские суффиксы, а готовым западноевропейским прозвищем. В русском языке слово «ангажировать» означает «приглашать, нанимать, вовлекать» и восходит к французскому engager — «обязывать, нанимать». Однако сама фамилия, скорее всего, не образована от глагола напрямую, а принесена носителем французского или шире — западноевропейского происхождения.

Наиболее вероятная среда возникновения — русское дворянство или интеллигенция XVIII–XIX веков, когда всё французское было в моде. Человек, получивший прозвище Ангажи, мог быть постоянно «занятым» или «нанятым» — например, танцмейстер, церемониймейстер или просто светский человек, который «ангажировал» дам на балы. В таком случае фамилия закрепилась за ним или его потомками по модели, типичной для искусственных дворянских фамилий от французских корней. Менее вероятна версия о русификации польской или украинской фамилии, где корень «ангаж» (от того же французского) означал «залог, обязательство»: тогда предок мог быть поручителем или залогодателем.

Главная словообразовательная особенность — неизменяемость. Фамилия оканчивается на гласную -и и не имеет славянских суффиксов (-ов, -ин, -ский), поэтому в русском языке не склоняется. Это сразу выдает её иноязычное происхождение. Географически такие фамилии встречаются в основном в крупных городах или среди потомков обрусевших иностранцев, но точных данных о распространении Ангажи в России нет — фамилия редкая, в открытых источниках почти не фиксируется.

В отличие от многих «говорящих» фамилий, Ангажи не описывает внешность или характер, а фиксирует социальную роль или ситуацию: «тот, кого наняли» или «тот, кто приглашает». Это делает её уникальным отпечатком культурного заимствования, где французское слово стало русским прозвищем, а затем и фамилией — без перевода и адаптации, просто войдя в обиход.