Фамилия Ангажи — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение лежит не в славянской, а во французской языковой среде. В русском языке слово «ангажировать» означает «приглашать, нанимать, вовлекать», и восходит к французскому engager — «обязывать, нанимать». Однако фамилия Ангажи, скорее всего, не образована напрямую от этого глагола, а пришла в Россию уже готовой, как прозвище или фамилия носителя французского или шире — западноевропейского происхождения.

Вероятнее всего, перед нами фамилия, которая возникла в среде русских дворян или интеллигенции в XVIII–XIX веках, когда в России было модно всё французское. Человек, получивший прозвище Ангажи, мог быть тем, кто постоянно был «занят», «нанят» или, напротив, сам активно приглашал других — например, танцмейстер, церемониймейстер или даже просто светский человек, который «ангажировал» дам на балы. В таком случае фамилия закрепилась за ним или его потомками по модели, характерной для искусственных дворянских фамилий, образованных от французских корней.

Другая, менее вероятная версия — что фамилия могла возникнуть как русификация иностранной фамилии, например, польской или украинской, где корень «ангаж» (от того же французского) означал «залог, обязательство». В таком случае предок мог быть поручителем, залогодателем или человеком, связанным с долговыми обязательствами.

Особенность фамилии — её неизменяемость в русском языке: она не склоняется, так как оканчивается на гласную -и и не имеет типичных славянских суффиксов (-ов, -ин, -ский). Это сразу указывает на её иноязычное происхождение. Географически такие фамилии встречаются в основном в крупных городах или среди потомков обрусевших иностранцев, но точных данных о распространении Ангажи в России нет — это очень редкая фамилия.

Интересно, что в отличие от многих «говорящих» фамилий, Ангажи не описывает внешность или характер, а скорее фиксирует социальную роль или ситуацию — «тот, кого наняли» или «тот, кто приглашает». Это делает её уникальным свидетельством культурного влияния Франции на русский быт и язык.