Фамилия Анвури — редкий случай в русском ономастиконе. Она не вписывается в привычные модели русских фамилий: в ней нет славянских суффиксов -ов, -ин, -ский или -их. Скорее всего, перед нами фамилия искусственного или иноязычного происхождения, появившаяся в русской среде относительно поздно.

Наиболее вероятная версия — Анвури представляет собой русифицированную форму финской или карельской фамилии. Финский суффикс -nen, часто передаваемый на русский как -нен, в некоторых случаях мог трансформироваться в -ри или быть записанным на слух. Основа «анву-» может восходить к финскому слову «anvoa» (ценить, оценивать) или к личному имени. В таком случае исходное прозвище или фамилия могли означать «оценщик» или «тот, кто из рода Оценщика». Вторая версия, менее вероятная, — связь с диалектным русским словом «анвур», обозначавшим нечто необычное или диковинное, но серьёзных лексикографических подтверждений этому нет.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу России, особенно к Карелии и Ленинградской области. Там, в зоне многовековых контактов славянского и финно-угорского населения, подобные фамилии возникали естественным путём. Предки носителей фамилии Анвури могли быть крестьянами или ремесленниками из приграничных волостей, чьи прозвища при переписях записывали на слух писцы, не всегда знавшие местный язык.

С точки зрения словообразования, фамилия стоит особняком. У неё нет типичного русского окончания, поэтому в быту её часто склоняют как несклоняемую, хотя по правилам грамматики мужской вариант (Анвури) не склоняется, а женский (Анвури) — тем более. Эта морфологическая особенность — ещё одно косвенное доказательство её недавнего вхождения в русский именослов и нерусского корня.