Фамилия Анвури стоит особняком в русском ономастиконе. В ней нет привычных славянских суффиксов -ов, -ин, -ский или -их, что сразу указывает на нерусское или искусственное происхождение. Скорее всего, перед нами русифицированная форма, появившаяся в русской среде относительно поздно.

Наиболее вероятная версия связывает Анвури с финским или карельским языком. Финский суффикс -nen, который на русский обычно передают как -нен, в отдельных случаях мог трансформироваться в -ри при записи на слух. Основу «анву-» выводят от финского глагола «anvoa» (ценить, оценивать). Тогда исходное прозвище могло означать «оценщик» или «тот, кто из рода Оценщика». Вторая версия — связь с диалектным русским словом «анвур», якобы обозначавшим нечто диковинное, — не находит серьёзных лексикографических подтверждений и остаётся маловероятной.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу России, особенно к Карелии и Ленинградской области. В этой зоне многовековых контактов славянского и финно-угорского населения такие фамилии возникали естественным путём. Предки носителей Анвури могли быть крестьянами или ремесленниками из приграничных волостей. Их прозвища при переписях записывали на слух писцы, не всегда знавшие местный язык, — отсюда и необычная форма.

С точки зрения словообразования фамилия стоит особняком. У неё нет типичного русского окончания, поэтому в быту её часто воспринимают как несклоняемую, хотя по правилам грамматики мужской вариант (Анвури) не склоняется, а женский (Анвури) — тем более. Эта морфологическая особенность — ещё одно косвенное доказательство недавнего вхождения фамилии в русский именослов и её нерусского корня.