Фамилия Анюкстис звучит для русского уха непривычно — и это главная подсказка. Она не вписывается в типичную русскую модель на -ов, -ин или -ский. Её корень и суффикс указывают на балтийское, скорее всего литовское, происхождение. Окончание -ис (в именительном падеже мужского рода) — характерный признак литовских фамилий, которые в русском языке часто склоняются по образцу существительных на -ь (Анюкстиса, Анюкстису).

Основу фамилии составляет имя или прозвище Анюктас (Aniuktas) — уменьшительная форма от личного имени Анас (Anas) или, что вероятнее, от Антанас (Antanas), литовского аналога русского Антон. Суффикс -ук- (-iuk-) в литовском языке имеет уменьшительно-ласкательное значение, как и в восточнославянских фамилиях. Таким образом, Анюкстис буквально означает «сын (или потомок) маленького Анюктаса», то есть внук или правнук Антона. В литовской антропонимике фамилии на -ис часто образовывались от прозвищ, указывающих на родство по мужской линии.

Исторически эта фамилия бытовала в основном на территории Литвы, а после вхождения её частей в состав Российской империи могла фиксироваться в документах среди крестьянского и мещанского сословий. Поскольку фамилии у литовских крестьян стали массово закрепляться лишь в XIX веке, Анюкстис — сравнительно позднее образование. В отличие от русских фамилий, где суффикс -ов указывает на принадлежность отцу, литовский -ис просто оформляет фамилию как прилагательное или существительное мужского рода, не меняя смысла.

Редкость фамилии объясняется её узкой региональной привязкой и тем, что она не попала в массовые переписи за пределами Литвы. Встретить Анюкстиса за пределами балтийского региона — почти наверняка след эмиграции конца XIX — начала XX века. Сейчас носители фамилии живут в основном в Литве, Латвии и, реже, среди потомков литовских переселенцев в США, Канаде и Австралии.