Фамилия Анюкстис звучит для русского уха непривычно, и это сразу подсказывает её происхождение. Она не вписывается в типичную русскую модель на -ов, -ин или -ский: её корень и суффикс указывают на балтийские, скорее всего литовские, корни. Окончание -ис в именительном падеже мужского рода — характерный признак литовских фамилий, которые в русском языке часто склоняются по образцу существительных на -ь (Анюкстиса, Анюкстису).

Разберём, из чего сложилась основа. В центре фамилии — имя или прозвище Анюктас (Aniuktas). Это уменьшительная форма от личного имени Анас (Anas) или, что вероятнее, от Антанас (Antanas) — литовского аналога русского Антона. Суффикс -ук- (-iuk-) в литовском языке имеет то же уменьшительно-ласкательное значение, что и в восточнославянских фамилиях: он превращает полное имя в домашнее, «маленькое». Таким образом, Анюкстис буквально означает «сын (или потомок) маленького Анюктаса», то есть внук или правнук Антона. В литовской антропонимике фамилии на -ис часто образовывались от таких прозвищ, указывая на родство по мужской линии.

Исторически фамилия бытовала в основном на территории Литвы. После вхождения её частей в состав Российской империи она могла фиксироваться в документах среди крестьянского и мещанского сословий. Фамилии у литовских крестьян стали массово закрепляться лишь в XIX веке, так что Анюкстис — сравнительно позднее образование. Обратите внимание на разницу в словообразовании: в русских фамилиях суффикс -ов прямо указывает на принадлежность отцу (Петров — сын Петра), а литовский -ис просто оформляет фамилию как прилагательное или существительное мужского рода, не меняя смысла родства.

Редкость фамилии объясняется её узкой региональной привязкой: она не попала в массовые переписи за пределами Литвы. Встретить Анюкстиса за пределами балтийского региона — почти наверняка след эмиграции конца XIX — начала XX века. Сейчас носители фамилии живут в основном в Литве, Латвии и, реже, среди потомков литовских переселенцев в США, Канаде и Австралии. Если вы ищете свои корни, стоит начать с метрических книг Сувалкской или Ковенской губерний — именно там эта фамилия имела наибольшее распространение.