Фамилия Апеот — редкий случай в русской ономастике. Она не вписывается в привычные модели, образованные от крестильных имён, профессий или прозвищ с помощью суффиксов -ов, -ин или -ский. Скорее всего, перед нами фамилия искусственного происхождения, возникшая в семинарской или академической среде.

Разбираем её не по обычному пути — от корня к суффиксу, а через необычное окончание. Суффикс -от в русских фамилиях почти не встречается, и это сразу выдаёт книжное, а не народное происхождение. В духовных училищах XVIII–XIX веков было принято давать будущим священникам «говорящие» фамилии на греческий или латинский манер, часто переводя русскую фамилию или прозвище. Вероятнее всего, основой послужило греческое слово «апеотия» (ἀπέοθια) — «отсутствие», «удаление». Если предок носителя фамилии Апеот был, например, человеком нелюдимым, замкнутым или «отстранённым», его могли записать как Апеот — то есть «удалённый», «отчуждённый». Такой способ словообразования характерен для фамилий, оканчивающихся на -от: ср. Идиот, от греч. ἰδιώτης — «частное лицо», не в смысле глупости, а как указание на неучастие в общественных делах. Аналог — фамилия Идиотов, тоже семинарская.

Вторая, менее вероятная версия связывает фамилию с искажением иностранной фамилии при переписи. Например, французская фамилия Апо (Apot) или немецкая Апот (Apot) могла быть русифицирована в Апеот. Но это лишь предположение, не подкреплённое географией бытования фамилии.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В базах данных по России и странам бывшего СССР она практически не фиксируется, что подтверждает её книжное, а не народное происхождение. Фамилия Апеот — не про род занятий или место жительства, а про случайность записи в семинарском списке или прихоть писаря, решившего переделать прозвище на греческий лад. Единственное, что можно сказать с уверенностью: её носитель, скорее всего, потомок человека из духовного сословия, которому дали «учёную» фамилию за отстранённый характер или уединённый образ жизни.