Фамилия Апойков — редкая и с точки зрения словообразования довольно прозрачная, но с неожиданным поворотом в значении основы. Носителю фамилии стоит сразу обратить внимание на суффикс: это не типичное -ов, а его вариант -ев, который в русских фамилиях присоединялся к основам на мягкий согласный или на йот. В нашем случае основа — Апойк(о). Суффикс -к(о) в украинской, белорусской и южнорусской традиции — уменьшительно-ласкательный или уничижительный (ср. Хведько, Иванько, Грицько). Значит, в основе лежит имя или прозвище Апойко, а фамилия означает «сын Апойко» или «потомок Апойко».

Главный вопрос — что такое «Апой»? Здесь возможны два пути. Первый, лежащий на поверхности: искажённое или диалектное произношение имени Апполон (Аполлон). В народной речи греческое «Аполлон» могло сократиться до Апой, а уменьшительное Апойка/Апойко дало фамилию. Такое упрощение встречалось: например, от Ермолай — Ермошка, от Агафон — Агапка. Второй вариант, более редкий и локальный: прозвище от диалектного слова «апой» (или «опой») — так в некоторых говорах называли кожевенный отвар, а также недоброкачественный квас. Прозвище Апой могли дать либо кожевнику, либо тому, кто варил плохое питьё. Однако эта версия слабее: слово «апой» почти не фиксируется в словарях как самостоятельное прозвище, а имя Аполлон в народных формах (Аполинарий, Апполос) давало много производных.

География фамилии, насколько можно судить по разрозненным данным, тяготеет к югу России и Украине. Встречается в Курской, Белгородской областях, а также в среде потомков казачества. Социальный состав носителей — скорее крестьянство и мещанство: фамилия не княжеская и не дворянская, образована по бытовой модели с уменьшительным суффиксом. Если ваш предок носил фамилию Апойков, с высокой вероятностью его звали Апойко, а полным именем — Аполлон или, реже, какое-то другое имя на «Ап-» (например, Апполинарий).

Таким образом, фамилия Апойков — это патроним от народной формы имени Аполлон, закреплённый в южнорусской или украинской среде. Второй вариант, с прозвищем от «опой», возможен, но маловероятен: имя даёт более естественное объяснение и меньше натяжек.