Фамилия Апунова — женская форма, а её мужской вариант Апунов образован по стандартной патронимической модели с суффиксом -ов. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Апун, и здесь начинается самое интересное.

Главная версия ведёт к северным и сибирским говорам, где глагол «опу́нуть» или «апу́нуть» означал «обмануть, провести, одурачить». Человека с таким прозвищем, скорее всего, считали хитрым и изворотливым — либо, наоборот, простаком, которого легко обвести вокруг пальца. Прозвища по чертам характера — один из самых массовых источников русских фамилий, и эта версия выглядит лингвистически прозрачной и естественной.

Менее вероятно, что в основе лежит искажённое каноническое имя Аполлон или его уменьшительная форма Апуня. От имён на -он обычно образовывали фамилии через Аполлонов, а не Апунов, так что этот путь редок. Также существует слабо документированная версия о диалектном слове «апун» — так в некоторых регионах называли вид рыбы или нерасторопного человека, но эти значения узколокальны.

География фамилии косвенно подтверждает версию с северным глагольным корнем: Апуновы встречаются в основном на Русском Севере и в Сибири — в Архангельской, Вологодской областях и в Забайкалье. Архивные записи XIX века показывают, что носители фамилии относились к государственным крестьянам и мещанам, то есть происходили из податных сословий, а не из дворянства.

Итог прост: с наибольшей вероятностью предок получил прозвище за хитрость или склонность к обману — не в уголовном смысле, а как меткая бытовая характеристика. Фамилия редкая, что для генеалогического поиска скорее плюс: чем меньше однофамильцев, тем легче восстановить конкретную родовую ветвь.