Фамилия Аркулинская — редкий случай, когда женская форма закрепилась в документах как основная, а не как производная от мужской. В русской традиции фамилии на -ский/-ская обычно указывают на географическое происхождение, и Аркулинская — скорее всего, та, что родом из Аркулина или Аркулинок. Сами топонимы могли образоваться от прозвища или имени Аркула, а в основе того имени лежит диалектное слово «аркул» — так в некоторых говорах называли хитреца, пройдоху или, наоборот, нелюдимого человека. Встречается и тюркский след: «аркул» — разновидность дикого лука или чеснока, что тоже могло стать прозвищем сборщика или торговца.

Если искать географическую привязку, то модель фамилии явно западнорусская или польская. В Речи Посполитой шляхта часто носила фамилии на -ский, и Аркулинская могла появиться в среде мелкой шляхты, владевшей хутором Аркулино. После разделов Польши такие фамилии вошли в общероссийский обиход, но сохранили свой «панский» суффикс. В отличие от крестьянских фамилий на -ов/-ев, эта форма указывает на более высокий социальный статус предков — по крайней мере, на их претензию на него.

Мужской вариант — Аркулинский — встречается ещё реже. Фамилия не попала в массовые списки российского дворянства, так что её носители, скорее всего, относились к однодворцам или обедневшей шляхте, которая постепенно сливалась с крестьянством. В современной России Аркулинских можно встретить в центральных областях и на юге, куда они мигрировали после отмены крепостного права.

Форму «Аркулинская» не стоит путать с более частыми «Аркуловыми» или «Аркулиными» — те образованы от того же корня, но по другой, более простой модели. Здесь мы видим именно топонимический след, который привязывает фамилию к конкретному месту, где жили предки. Если ваши предки носили эту фамилию, искать стоит не столько родословную книгу, сколько старые карты и писцовые книги западнорусских губерний — там могла значиться забытая деревня или усадьба.