Фамилия Армуж настолько редкая, что её почти не встретишь в привычных списках русских фамилий. Чтобы понять её происхождение, проще всего разобрать окончание. Суффикс -уж нетипичен для славянских фамилий — он не встречается в моделях на -ов, -ин или -ский. Это сразу наводит на мысль, что перед нами не исконно русская фамилия, а скорее всего, заимствованная или адаптированная на русской почве.

Самое вероятное объяснение — фамилия восходит к румынскому (молдавскому) слову armuș или armăș. В исторической Молдавии и Валахии так называли вооружённого слугу боярина, сборщика податей или судебного пристава. Должность «армаш» была известна в средневековых княжествах: этот человек носил оружие, сопровождал господаря и следил за порядком. Если предок носителя фамилии был армашем, то прозвище Армуж (или Армаш) закрепилось за ним, а потом перешло в фамилию. В русском языке звук ш на конце мог перейти в ж под влиянием местного произношения или при записи фамилии в документах.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркскими языками. В некоторых тюркских диалектах armu означает «груша», а суффикс -ж мог придать прозвищное значение («грушевый», «похожий на грушу»). Однако эта гипотеза слабее: во-первых, тюркские фамилии на -ж в русской среде почти не встречаются, во-вторых, географически фамилия Армуж чаще фиксируется на юге России и в Бессарабии, где молдавское влияние было сильным.

География бытования тоже подсказывает ответ. Фамилия Армуж встречается в основном среди потомков молдавских переселенцев, живших в Одесской области, Приднестровье и на Кубани. В этих краях в XIX веке оседали крестьяне из Бессарабии, и румынские по происхождению прозвища нередко русифицировались. Таким образом, носитель фамилии Армуж, скорее всего, потомок молдавского армаша — вооружённого служителя, который со временем стал крестьянином или мещанином.

Однокоренных фамилий в русском языке почти нет. Можно вспомнить фамилию Армаш — она встречается чаще и сохраняет исходный звук ш. Армуж — её более редкий фонетический вариант, возникший из-за особенностей местного говора или ошибки писаря. В любом случае, значение одно: предок был человеком при оружии, при должности, а не просто крестьянином.