Фамилия Арпишкина — женская форма, мужская — Арпишкин. Она нечастая, и её происхождение не лежит на поверхности, что делает её особенно интересной для разбора. В основе фамилии, скорее всего, лежит нецерковное имя или прозвище, образованное от слова «арпишка». Это слово имеет два основных пути объяснения.

Первый, наиболее вероятный, связан с диалектным глаголом «арпить» — в некоторых русских говорах (особенно северных и уральских) он означал «упрямиться», «капризничать», «делать что-то назло». Тогда Арпишка — это упрямый, своенравный человек. Суффикс -ишк- в русских именах и прозвищах часто имел уменьшительно-пренебрежительный оттенок (как Ванька, Петька), но в фамилиях он закрепился как нейтральный. Второй вариант — связь с тюркским корнем «арп», что значит «ячмень», но для образования прозвища «Арпишка» это менее убедительно, так как в русской среде такое прозвище могло бы означать «ячменный» (по цвету волос или роду занятий), но прямых параллелей в ономастике мало.

Фамилия образована по типичной русской модели: к основе на -а (Арпишк-а) добавляется притяжательный суффикс -ин, указывающий на принадлежность: «чей?» — Арпишкин, то есть сын или потомок Арпишки. Такие фамилии были характерны для крестьян и мещан средней полосы России, особенно в XVII–XIX веках, когда прозвища переходили в фамилии без изменений. Географически фамилия Арпишкин встречается в основном в центральных и северо-восточных регионах, например, в Вологодской, Кировской областях и в Пермском крае, что косвенно подтверждает связь с северными говорами, где слово «арпить» было в ходу.

Таким образом, предок носителей фамилии Арпишкин — скорее всего, человек с непростым характером, которого в деревне прозвали Арпишкой за упрямство или строптивость. Со временем прозвище забылось, а фамилия осталась, и теперь она звучит не грубо, а как редкий и запоминающийся родовой знак.