Фамилия Арпишкина — женская форма; мужская — Арпишкин. Это нечастая фамилия, и её происхождение не лежит на поверхности. В основе, скорее всего, лежит нецерковное имя или прозвище, образованное от слова «арпишка». Наиболее вероятное объяснение связано с диалектным глаголом «арпить» — в некоторых русских говорах, особенно северных и уральских, он означал «упрямиться», «капризничать», «делать что-то назло». Тогда Арпишка — это упрямый, своенравный человек. Суффикс -ишк- в русских именах и прозвищах обычно имел уменьшительно-пренебрежительный оттенок (как Ванька, Петька), но в фамилиях он закрепился как нейтральный, утратив первоначальную грубость.

Вторая версия — связь с тюркским корнем «арп», то есть «ячмень». Однако для образования прозвища «Арпишка» в русской среде это менее убедительно: такое прозвище могло бы означать «ячменный» — по цвету волос или роду занятий, но прямых параллелей в ономастике мало. Поэтому версия с «упрямством» выглядит правдоподобнее.

Фамилия образована по типичной русской модели: к основе на -а (Арпишк-а) добавляется притяжательный суффикс -ин, указывающий на принадлежность: «чей?» — Арпишкин, то есть сын или потомок Арпишки. Такие фамилии были характерны для крестьян и мещан средней полосы России, особенно в XVII–XIX веках, когда прозвища переходили в фамилии без изменений. Географически фамилия Арпишкин встречается в основном в центральных и северо-восточных регионах — Вологодской, Кировской областях и в Пермском крае. Это косвенно подтверждает связь с северными говорами, где слово «арпить» было в ходу.

Таким образом, предок носителей фамилии — скорее всего, человек с непростым характером, которого в деревне прозвали Арпишкой за упрямство или строптивость. Со временем прозвище забылось, а фамилия осталась, и теперь она звучит не грубо, а как редкий и запоминающийся родовой знак.