Фамилия Арюлина — женская форма от Арюлин, а та образована от мужского имени или прозвища Арюля. Сама основа неочевидна, и здесь возможны два основных пути объяснения.

Первый, самый вероятный: Арюля — это производная форма от крестильного имени Арий. В святцах это имя встречается у нескольких раннехристианских мучеников, например, Арий Александрийский. В русской народной традиции такие имена часто «обкатывали» до ласкательных форм: Арий → Аря → Арюля. Суффикс -юля характерен для уменьшительных имён (сравните: Валя, Коля, Толя — все от полных форм). Так что предок носителя фамилии мог быть просто Арюлей — домашним вариантом церковного Ария.

Второй путь — от прозвища. В некоторых говорах «арюля» или «арюха» могло означать крикуна, плаксу или ворчуна. Глагол «арюкать» в диалектах (например, рязанских) значит «кричать, плакать, звать». Если так, то фамилия пошла от человека с громким голосом или беспокойным нравом. Эта версия менее распространена, но возможна, особенно если фамилия встречается в южнорусских регионах.

Модель образования проста: суффикс -ин указывает на принадлежность — «чей?» — «сын Арюли». Это типичная «патронимическая» фамилия, каких большинство в русском языке (Иванов, Петров, Сидоров). Встречается она нечасто, географически привязана к центральным и поволжским областям России, где фиксировались фамилии на -ин с диалектной основой.

Сравните с однокоренными: Аринин, Аринкин — они образованы от Арина (простонародная форма Ирины), но у Арюлиной корень другой, без «н». Это отличает её от более частых вариантов.