Фамилия Арзамиков — редкий случай, где восточный корень «прижился» в русской патронимической модели. Основа здесь — имя или прозвище Арзамик, а суффикс -ов по самой распространённой схеме отвечает на вопрос «чей?»: Арзамиков — сын или потомок человека по имени Арзамик. Уже в этом скрыта первая неочевидная деталь: суффикс -ик в основе фамилии — штука нечастая. Для фамилий, образованных от полных имён, он нетипичен. Арзамик — не официальное крестильное имя, а скорее домашнее, уличное прозвище, которое в быту «обкатали» и уменьшили, а потом оно закрепилось как родовое. Такое часто встречалось у крестьян и посадских людей.

Корень «Арзам» — самое спорное и интересное место. Самая вероятная версия ведёт в тюркский мир: в тюркских языках есть основа «арза» или «арзы» со значением «желание», «мечта», «ценность». Имя Арзам (а Арзамик — с тем самым уменьшительно-ласкательным суффиксом) могло быть пожелательным: родители называли так ребёнка, желая ему быть дорогим и желанным. Тогда Арзамиков — потомок «ценного» или «желанного» человека.

Есть и другая гипотеза, но она слабее: географическая. В Поволжье и Приуралье встречаются топонимы с корнем «Арзам» (например, село Арзамасцево или речка Арза). Если предок был выходцем оттуда, его могли прозвать Арзамиком — «тем, кто с Арзама». Однако обычно такие прозвища давали по названию крупного города (как Арзамасов), а не по мелкому топониму, поэтому эта версия проигрывает первой.

Скорее всего, первые носители фамилии жили в зоне контакта русских и тюркских народов — в Среднем Поволжье, Приуралье или на юге Сибири. Фамилия нераспространённая, что указывает на локальное происхождение: один род, одна или несколько деревень, где прозвище Арзамик стало родовым. Сословно — почти наверняка крестьяне или однодворцы, никаких следов дворянства или купечества в этой фамилии нет.

В написании стоит обратить внимание на букву «з» в корне: не «Арсамиков» и не «Арзамасов». Это отдельная фамилия, а не искажение известного города Арзамас. Если ваш предок — Арзамиков, то его имя-основа звучало именно как Арзамик, а не как Арзамас.