Фамилия Асеишвили — грузинская, и её разбор стоит начать с суффикса «-швили». Он означает «сын» или «рождённый от», как русское «-ов/-ев», и особенно распространён в восточной Грузии, в Кахетии и Картли. Основа «Асеи» — это, скорее всего, мужское имя или прозвище, адаптированное на грузинский лад. Прямого грузинского корня здесь нет: указательное местоимение «этот» звучит как «эс», а «так» — «асе», но фамилии от наречий в Грузии почти не встречаются. Гораздо вероятнее, что в основе лежит личное имя Аса, Асий или Асей. Оно могло быть исконно грузинским (сокращение от Асати, Асанидзе) или принесённым извне — от библейского имени Аса (царь Иудеи) или от арабского «аси» (целитель, врач). Через контакты с Осетией и Северным Кавказом это имя могло перейти в грузинскую среду.

Таким образом, Асеишвили — это «сын Асея» или «потомок человека по имени Асей». Фамилия недворянская: суффикс «-швили» в Грузии был массовым, его носили крестьяне, ремесленники, священники и мелкие князья. Сведений о принадлежности к высшей аристократии (на «-дзе» или «-батонишвили») нет, поэтому предки носителя, скорее всего, были свободными земледельцами или горожанами из восточногрузинских регионов.

В написании обращает на себя внимание сочетание «еи»: в русской передаче грузинских фамилий его часто упрощают до «е» (Асешвили), но исходный вариант с двумя гласными — Асеишвили — встречается в документах и указывает на то, что основа осознавалась как двусложная. В самой Грузии фамилия редкая, не входит в сотню самых частотных. Современные базы показывают единичных носителей в Тбилиси и в регионах Кахетии.