Фамилия Аскасинская — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Главная сложность в том, что основа «Аскас-» не имеет прямого и очевидного значения в русском языке. Поэтому здесь приходится выбирать между несколькими версиями, и самая правдоподобная связана с географией.

Скорее всего, фамилию образовали от названия населённого пункта. В России и на постсоветском пространстве существует несколько топонимов с корнем «Аскас»: река Аскас (приток Томи в Хакасии) или село Аскас в Кемеровской области. Суффикс «-ин-» в таких фамилиях часто указывает на принадлежность к месту: Аскасинский — «тот, кто из Аскаса». Форма «Аскасинская» — женский вариант, но исторически фамилия могла быть закреплена за родом, происходящим из этого селения. Если предки были крестьянами или казаками, переселившимися оттуда, фамилия закрепилась по месту выхода.

Менее вероятная, но возможная версия — от личного имени или прозвища Аскас. В тюркских языках «ас» может означать «соболь» или «ласка», а «кас» — «человек», но такое сложение для имени нехарактерно. Скорее, это искажённое «Аскар» или диалектная форма, не попавшая в официальные списки. В таком случае суффикс «-ин-» указывал бы на принадлежность к этому человеку: «чей?» — Аскасин, то есть сын или потомок Аскаса.

Обратите внимание на окончание «-ская». Оно типично для дворянских фамилий, образованных от названий поместий, но в народной среде такие фамилии давали по названию деревни или реки, где жила семья. Если бы фамилия была чисто дворянской, она, скорее всего, сохранилась бы в родословных книгах, но Аскасинская там не встречается. Значит, перед нами «географическая» фамилия, закреплённая за крестьянским или мещанским родом из Сибири или Урала, где топоним Аскас распространён.

Словообразовательная модель здесь простая: основа (Аскас) + суффикс принадлежности (-ин-) + типичный для «географических» фамилий суффикс (-ск-) и окончание (-ая). Такая конструкция характерна для фамилий, которые фиксировали связь человека с конкретным местом, а не с родом занятий или личным качеством. В ономастических трудах, например у Б. Унбегауна, подобные модели подробно разбираются как «топонимические» — они возникали, когда семья переезжала и получала прозвище по покинутой деревне.

Итог простой: ищите корни в Сибири, в окрестностях реки Аскас или одноимённого села. Фамилия редкая, и её носители, скорее всего, происходят из одного небольшого региона.