Фамилия Асскаева — редкий пример, где географическая привязка оказывается важнее морфологического разбора. Сразу бросается в глаза нетипичное для русских фамилий начало на «Асск-». Это почти наверняка указывает на тюркские или кавказские корни, а точнее — на осетинское или ингушское происхождение. В осетинском языке есть имя Асскæ (Асска), которое могло быть личным именем или прозвищем. Суффикс -ев (в женском роде -ева) — типичный русский патронимический формант, который присоединяли к нерусским основам при оформлении фамилий в документах XIX–XX веков. Таким образом, Асскаева — это «дочь (или жена) Асски».

Вероятная основа — осетинское «ас» (осетина, или «асса» — название древнего племени, от которого, по одной из версий, пошло самоназвание осетин «ирон»). Асска — уменьшительная или ласкательная форма от этого корня. В ингушском языке существует фамилия Асскаев (с ударением на первом слоге), и она связана с тейпом (родом) Асска. Встречается она почти исключительно в Ингушетии и среди ингушской диаспоры.

Словообразовательная модель проста: основа «Асск-» + суффикс «-аев» (вариант «-ев» после твердого согласного). Ударение, судя по живой речи носителей, падает на первый слог: А́сскаева. В русском языке такая фамилия могла бы быть переосмыслена как «ассирийская» (от «ассириец»), но это народная этимология, не подкрепленная историческими данными. Никакого отношения к слову «аскет» или «аска» (итальянское «прощай») фамилия не имеет.

Социальный контекст: носители фамилии — в основном потомки горцев, записанных в метрические книги и советские паспорта с фамилией на русский лад. Сословно это могли быть как свободные общинники, так и представители знатных фамилий (в Ингушетии фамилии не всегда жестко делились на дворянские и крестьянские). Географически фамилия локализована: ее не встретишь в центральной России, она «живет» на Северном Кавказе.

Если вы ищете свои корни, стоит начать с опросов старших родственников в Ингушетии или Осетии — устная традиция там часто хранит точные сведения о том, из какого села или тейпа пошла фамилия. Письменные источники (ревизские сказки XIX века) по этим регионам фрагментарны, но в архивах Владикавказа и Назрани возможны находки.