Фамилия Аськаев — довольно редкая, и её происхождение напрямую связано с тюркскими языками, скорее всего, с татарским или башкирским. Разберём её по частям, чтобы понять, кем могли быть предки.

Основа фамилии — личное имя Аськай. В тюркской ономастике суффикс -кай (или -кей) придаёт имени ласкательный или уменьшительный оттенок. Поэтому Аськай — это, вероятно, «маленький Ас» или «Ас, которого ласково называют». Корень «Ас» в данном случае может восходить к арабскому имени Асхаб (сподвижник, друг) или к древнетюркскому слову «ас» со значением «горностай», «белый зверёк». Впрочем, в тюркской среде имя Ас могло быть и самостоятельным, означающим «храбрый», «отважный». Таким образом, имя Аськай — это либо ласковое обращение к человеку по имени Ас, либо прозвище, данное за сходство с белым, быстрым зверьком.

Модель образования фамилии типична для тюркских народов, попавших под влияние русской грамматики: к основе на согласный (Аськай) добавили русский патронимический суффикс -ев (вместо тюркского -улы/-кызы). Фамилия Аськаев буквально означает «сын Аськая». Встречается она преимущественно у татар и башкир, особенно в Оренбургской области, Башкортостане и Татарстане. География бытования узкая, что говорит о том, что родоначальник фамилии — конкретный человек, живший не слишком давно, возможно, в XVIII–XIX веках.

В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках фамилия Аськаев фиксируется среди тептярей и государственных крестьян. Сословно предки, скорее всего, не были дворянами, а относились к податным сословиям — крестьянам или мещанам. Встречаются варианты написания: Аскаев, Аськаев. Мягкий знак перед суффиксом — ключевая деталь: он указывает на произношение имени как Аськай, а не Аскай. Эта мягкость характерна для татарского произношения и подчёркивает, что в основе лежало имя именно с мягким согласным.