Фамилия Аська — редкий случай, когда личное имя или прозвище перешло в фамилию почти без изменений, без типичных русских суффиксов -ов, -ин или -ский. В этом её главная особенность: она застыла в той форме, в которой бытовала в живой речи. Читателю, который ищет свою фамилию, стоит сразу понять: перед ним не стандартная «фамилия-патроним», а скорее прозвище или домашнее имя, записанное за предком напрямую.

Скорее всего, основа фамилии — уменьшительная форма личного имени. В русской традиции так могли называть Анастасию (Ася) или, реже, Арсения (Ася). Суффикс -к- здесь не фамильный, а изначально уменьшительно-ласкательный: Аська — это «маленькая Ася» или «Ася, к которой относятся с нежностью». Фамилия, таким образом, могла закрепиться за человеком по его домашнему, обиходному имени. Обратите внимание: словообразовательная модель здесь необычна — фамилия образована не от полного имени с помощью фамильного форманта, а от уже готовой уменьшительной формы. Это сближает её с фамилиями вроде Васька или Петька, но те обычно получали суффикс -ин (Васькин, Петькин), а Аська осталась без него.

Есть и другая версия, менее вероятная, но возможная: прозвище Аська могли дать человеку, который часто употреблял в речи междометие «ась?» — то есть переспрашивал, не расслышав. В диалектах «ась» означало «что?», «а?». В этом случае фамилия отражала бы речевую особенность предка. Эта гипотеза слабее: прозвища от междометий в русской ономастике встречаются, но обычно они давались не женщинам, а мужчинам, и чаще оформлялись суффиксами (Аськин). Тем не менее, для полноты картины её стоит упомянуть.

Географически фамилия тяготеет к южным и центральным областям России, где форма «Аська» как обращение встречалась чаще. Встречается она и у украинцев, где «Аська» могло быть производным от имени Остап (Астап → Аська). В украинской традиции, кстати, фамилии без суффиксов встречаются чаще, чем в русской, так что это дополнительный аргумент в пользу южного происхождения.

Поскольку фамилия не получила стандартного фамильного суффикса, она могла остаться в своей первоначальной форме у казаков или однодворцев — сословий, где фамилии нередко фиксировались так, как звучали в быту, без канцелярской переделки. В переписных книгах XVII–XVIII веков такие «голые» прозвища нередко записывали за крестьянами и казаками, а позже они закреплялись как фамилии. Если ваши предки были из этих сословий, фамилия Аська могла сохраниться именно благодаря устной традиции, а не чиновничьему перу.