Фамилия Асулбек — редкий случай, когда фамилия не славянского, а тюркского происхождения, причём образованная не по русской модели (с суффиксами -ов, -ин), а как чистое имя-прозвище. Это сразу отличает её от подавляющего большинства русских фамилий: здесь не работают привычные словообразовательные схемы, и искать корень нужно не в прозвище или ремесле, а в мужском личном имени Асулбек.

Основа имени — два корня: «асул» и «бек». Вторая часть, «бек» (варианты — «бий», «бей»), в тюркских языках означает «господин», «князь», «предводитель». Это титульный компонент, который широко распространён в именах народов Средней Азии, Кавказа и Поволжья. Первая часть — «асул» — более спорная, но у этимологов есть две основные версии. Наиболее вероятная: от тюркского «аслы» (подлинный, настоящий, истинный) или «асыл» (благородный, драгоценный). В таком случае Асулбек переводится как «истинный господин» или «благородный князь». Имя давали с пожеланием, чтобы мальчик вырос достойным и уважаемым лидером. Менее распространённая гипотеза связывает «асул» с арабским корнем «асль» (основа, происхождение, род). Тогда значение смещается в сторону «господин знатного рода». Обе версии сходятся в одном: имя подчёркивало высокий статус или ожидание высоких моральных качеств.

Фамилия Асулбек — это застывшее имя, которое передалось потомкам без изменений. Такое возможно, если человек носил имя Асулбек, а его дети и внуки стали записываться как Асулбеки (с русским окончанием -ов, как Асулбеков) или, что реже, просто Асулбек. В современной русской записи фамилия склоняется как существительное мужского рода: Асулбек, Асулбека, Асулбеку. Встречается в основном у народов, где распространены тюркские имена: у казахов, киргизов, узбеков, а также у некоторых народов Северного Кавказа. В русских архивных документах XVIII–XIX веков фамилия не фиксируется — это более позднее явление, связанное с паспортизацией в советское время, когда имя отца записывали как фамилию. Если ваш предок носил имя Асулбек, то фамилия закрепилась за его потомками именно в тот период.