Фамилия Ацибор — редкая, и её значение не лежит на поверхности. В ней нет привычных русских суффиксов -ов, -ин или -ский, что сразу подсказывает: корни фамилии, скорее всего, не великорусские, а западнославянские или балтийские.

Разбираем основу. «Ацибор» почти наверняка восходит к древнему славянскому двусоставному имени Ацибор (или Яцибор). Такие имена были распространены у поляков, чехов и белорусов. Первая часть — «Аци» (или «Яци») — вероятно, связана с древнеславянским корнем *ęt- (взять, обрести) или же с личным именем Яцек (уменьшительное от Ян). Вторая часть — «бор» — в славянских именах всегда означала «борьба», «битва» (ср. Ратибор, Борислав). Таким образом, имя Ацибор могло значить «обретший бой» или «борющийся за обретение» — типичный для древней дружинной среды комплиментарный антропоним.

В польской ономастике фиксируется фамилия Jacibor (Яцибор), а также её варианты. На русской почве начальное «Я» часто переходило в «А» (сравните: Яков — Аков, Яким — Аким). Так что Ацибор — это, скорее всего, русифицированная форма польского или западнорусского (литовско-белорусского) имени. Носители такой фамилии в старину могли быть выходцами из шляхты или мещан Речи Посполитой, переселившимися в центральные русские земли.

Интересная деталь: в отличие от фамилий, образованных от прозвищ по профессии или внешности, Ацибор — это фамилия-архаизм, сохранившая в себе древнюю славянскую модель имянаречения. Она не говорит о ремесле предка, но указывает на то, что его далёкий предок носил редкое, почти былинное имя, которое в XII–XIII веках было знаком принадлежности к воинскому сословию.

Географически фамилия встречается в основном в западных областях России (Брянская, Смоленская) и в Беларуси. Встречаемость крайне низкая, что делает эту фамилию своеобразным маркером конкретного родового гнезда, а не массового явления.