Фамилия Авалишвили — грузинская, и её разумно начать с имени. В основе лежит мужское личное имя Авал. Согласно грузинской антропонимике, это имя осмыслялось как «божественная милость» — так называли долгожданного, вымоленного у Бога первенца. Формант -швили (შვილი) в переводе с грузинского значит «дитя» или «рождённый». В целом Авалишвили — «дитя Авала», то есть потомок человека с таким именем.

Важно не путать эту фамилию с русскими фамилиями на -ов, хотя внешнее сходство есть. В грузинской модели суффикс -швили — один из самых распространённых (наравне с -дзе), и он указывает на происхождение от отца или родоначальника, а не на принадлежность помещику или сословию. Поэтому фамилия не обязательно говорит о знатности, хотя в данном случае знатность присутствует: Авалишвили — грузинский княжеский род, который, по преданию, ведёт происхождение от князей Цицишвили (Цициановых). Это ставит фамилию в ряд титулованных грузинских фамилий, вписавшихся в российское дворянство после присоединения Грузии.

В российской и европейской истории наиболее известен князь Павел Рафаилович Бермондт-Авалов. Он был одиозным руководителем белого движения в Прибалтике, известным германофильскими взглядами и симпатиями к нацистам в 1930-е годы. Его двойная фамилия — Бермондт-Авалов — возникла из-за усыновления, но вторая часть прямо указывает на ту же фамилию Авалишвили в русифицированной форме (Авалов). Этот пример показывает, как грузинская фамилия адаптировалась в русском языке: окончание -швили часто заменяли на -ов для удобства в официальных документах Российской империи.

В самой Грузии Авалишвили встречается в разных регионах, но историческое ядро рода — восточная Грузия, Картли. Если ваши предки носили эту фамилию, то, скорее всего, они происходят из княжеского рода или из крестьян, получивших фамилию по имени предка-основателя. Второй вариант не менее вероятен: имя Авал бытовало не только среди знати.