Фамилия Аварницын — это не что иное, как фонетический вариант более распространённой фамилии Варницын. Появление начальной буквы «а» объясняется чисто практической причиной: так было удобнее произносить. В русском языке такое явление встречается нередко, когда приставной гласный облегчает стечение согласных или просто закрепляется в речи по аналогии с другими словами.

Основа у обеих фамилий одна — прозвище Варница. Оно напрямую связано с нарицательным «варница», то есть солеварня. В старину так называли специальное место или строение, где из природного рассола вываривали соль. Промысел этот был тяжёлым, но жизненно важным: соль в Древней Руси ценилась на вес золота. Соответственно, прозвище Варница получал человек, занятый в солеварении — либо хозяин варницы, либо работник. Со временем это профессиональное именование закрепилось за ним как основное, а затем перешло в фамилию. Таким образом, Аварницын — это потомок того самого Варницы, солевара.

Словообразовательная модель здесь классическая: суффикс -ын указывает на принадлежность («чей?»), то есть «сын Варницы». Вариант с суффиксом -ин (Варницин) тоже существовал, но форма Аварницын, хоть и редкая, сохранила в себе обе особенности — и приставной гласный, и старую суффиксальную норму. В современных ономастических справочниках фамилия не фигурирует как массовая, что говорит о её локальном бытовании, скорее всего, в северных регионах России, где солеварение было развито исторически (Поморье, Сольвычегодск, Тотьма).