Фамилия Авеина — один из тех случаев, когда по суффиксу можно с ходу сказать, откуда родом предки. Окончание -ин здесь не случайно: это типичный русский патронимический суффикс, который отвечает на вопрос «чей?». «Авеин» — значит сын или потомок человека по имени или прозвищу Авея.

В основе фамилии лежит имя Авея. Это не церковное, а народно-бытовая форма крестильного имени Авдей. Исходное древнееврейское Овадья переводится как «слуга Бога», но в русской деревне полные имена быстро перекраивали на свой лад. Так Авдей превращался в Авдю, Авдюшу, Авдея, а затем и в Авею. Потеря буквы «д» — естественный процесс для живой речи: «Авдей» произносили бегло, согласный выпадал, и получалось «Авей». От этой формы и образовали отчество: «Авеин сын», то есть сын Авеи. Ономасиологический словарь Б. Унбегауна относит такие фамилии к разряду образованных от канонических имён через народные варианты.

Встречается и более редкая версия, связывающая фамилию с женским именем Ава (краткая форма от Августа или Агафья). В таком случае Авеина — это матроним, то есть фамилия, данная по матери. Однако для русской традиции XVII–XIX веков, когда фамилии закреплялись в основном за крестьянскими и мещанскими родами, отцовская версия выглядит гораздо убедительнее. Матронимы чаще встречались в северных и западнорусских говорах, но и там они редки — обычно их давали, если отец был неизвестен или умер рано.

Географически фамилия Авеина тяготеет к центральным и северо-западным областям России — бывшим Новгородской, Псковской, Тверской губерниям. В этих краях имя Авдей было в ходу, а суффикс -ин вместо -ов — обычное явление. В документах XVIII–XIX веков могли писать и «Авеин», и «Авдеин» — написание не устоялось до советских паспортизаций. Если ваши предки — Авеины, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками из северной или средней полосы России, а родоначальника звали просто Авдей, в быту — Авея.