Фамилия Авесааломова начинается там, где кончаются привычные Ивановы и Петровы. Её основа — не каноническое святое имя, а ветхозаветное имя Авессалом (в церковнославянской традиции — Авесаалом), которое носил третий сын царя Давида, поднявший мятеж против отца. В русском языке имя закрепилось в двух формах: Авессалом и Авесалом, но фамилия пошла от более архаичного варианта с двойной «а» — Авесаалом.

Суффикс -ов работает здесь по обычной модели: «чей?» — «сын такого-то». Авесааломова буквально означает «дочь (или жена) Авесаалома». Но если отчества от крестильных имён встречались повсеместно, то эта фамилия почти не попадается у крестьян и мещан центральной России. Её география — южные и западные регионы, где бытовали старообрядческие и малороссийские общины, а также среда духовенства. Семинаристы нередко получали фамилии по библейским персонажам при поступлении, и Авесааломов мог быть искусственным «училищным» вариантом, призванным выделить носителя или подчеркнуть начитанность.

Самая заметная деталь — написание. Форма Авесааломова (а не Авессаломова) сохранила древнее написание с двумя «а» подряд, которое встречается в старопечатных книгах XVII века. Это указывает на возможную связь предков с книжной или церковной средой, где такое написание было нормой. В современном русском языке фамилия почти исчезла — по открытым данным, в России её носят единицы, и чаще всего в варианте Авессаломов.

Таким образом, Авесааломова — не простая «отчество-фамилия», а след библейской эрудиции или старообрядческой традиции, застывший в редкой орфографической форме. Если ваш предок носил её, он, скорее всего, имел отношение к духовному сословию или к среде, где Писание читали по-церковнославянски, а не по синодальному переводу.