Фамилия Авешныкова — женская форма, а мужская, Авешныков, образована от прозвища или мирского имени Авешнык. Чтобы понять, что оно значило, разберем основу. Корень здесь — «авеш-», который с большой вероятностью восходит к слову «овёс» через диалектное «авес» или «овес». В русских говорах, особенно северных и южных, «а» на месте начального «о» — явление частое: авес, авёс. Значит, Авешнык — это человек, связанный с овсом: либо крестьянин, который его сеял и убирал, либо тот, кто торговал овсом, либо даже лошадь, которую на овсе держали (прозвище могли дать и животному, а потом и человеку по его привычке или работе).

Суффикс «-нык» в фамилиях встречается реже, чем стандартные «-ов» или «-ин». Он характерен для прозвищ, обозначающих деятеля по предмету: овес — овешник (тот, кто с овсом), а в диалектном произношении — авешнык. Такая модель словообразования типична для восточнославянских говоров, особенно для украинского и белорусского влияния, где суффикс «-ник» (а в русской адаптации «-нык») активен. Фамилии на «-ыков» (Авешныков) могли возникнуть, когда к прозвищу на «-ык» добавили стандартный патронимический суффикс «-ов», указав на принадлежность роду Авешныка.

Географически фамилия Авешныков (и Авешныкова) редкая, но если и встречается, то чаще в регионах с сильным диалектным произношением — например, в южнорусских областях (Курская, Воронежская, Ростовская) или среди потомков переселенцев. Вариант с «а» вместо «о» выдает устную, а не книжную традицию записи: фамилию зафиксировали так, как слышали, а не как писали в официальных бумагах. Сравните с однокоренными Овечкин, Овсянников — там корень очевиднее, а Авешныков — более локальный, «народный» вариант.

Сословно носители этой фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — слишком прозрачная «земледельческая» основа и просторечная форма. Искать её стоит в метрических книгах и ревизских сказках XIX века по югу России, где фамилии нередко записывали «на слух».