Фамилия Авешников — тот случай, когда простота обманчива. Главная версия происхождения лежит на поверхности: в основе лежит диалектное слово «авешник» или «овешник». В северных и центральных говорах России так называли овсяный хлеб, а также человека, который его пёк или любил им лакомиться. Корень тот же, что у слова «овёс», но с характерным для ряда говоров аканьем: «авес» вместо «овёс». Значит, Авешников — это буквально «сын того, кто печёт овсяный хлеб» или «сын овсяника». Фамилия образована по стандартной русской модели отчества на -ов: сначала было прозвище Авешник, а уже от него — фамилия.

Но есть и нюанс, который делает эту фамилию более интересной, чем кажется. Суффикс -ник в основе прозвища (Авешник) — не просто суффикс принадлежности. В отличие от более частых -ов и -ин, он указывает на деятеля по его постоянному занятию или свойству. Это не «сын Авеша», а «сын Авешника» — человека, чья профессия или привычка была настолько заметна, что стала его именем. Такая словообразовательная цепочка (корень + -ник + -ов) характерна для фамилий, возникших из прозвищ ремесленников: вспомните Блинникова, Пирожникова, Калашникова. Авешников стоит в этом же ряду, но с более локальным, диалектным корнем.

С географией всё прозрачно: Авешниковы — коренные жители регионов с акающим говором. Это Поволжье, центральные области России (Тверская, Ярославская, Костромская губернии), а также некоторые районы Урала, куда переселенцы принесли свой говор. В документах XVIII–XIX веков фамилия встречается в основном среди крестьян и мещан — это прямо подтверждает её «ремесленное» происхождение от хлебопёка или торговца овсом.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с личным именем Аввакум (в просторечии Авеш или Авешка). В этом случае фамилия означала бы «потомок Авешки». Однако такая модель — от полной формы имени с суффиксом -ник — встречается реже, чем прозвищная, и для фамилии Авешников она выглядит натянутой.