Фамилия Авгученко построена по самой распространённой украинской модели — с суффиксом -енко. В ономастике этот суффикс работает как указатель на родство: «маленький Авгук» или «сын Авгука». Такие фамилии массово закреплялись в XVI–XVIII веках на Левобережной и Слободской Украине, постепенно вытеснив более ранние патронимы на -ович.

Корень фамилии — личное имя или прозвище Авгук. Здесь возможны две версии, и вторая выглядит убедительнее. Первая: Авгук — народная, обиходная форма крестильного имени Август (от лат. augustus — «величественный», «священный»). Имя Август в украинских сёлах давали редко, но его уменьшительные варианты (Авгук, Авгунь) могли закрепиться как прозвища. Вторая версия: Авгук происходит от диалектного глагола «авгати» или «авкати» — в некоторых говорах так называли крик, громкий зов, плач. Прозвище Авгук мог получить крикливый ребёнок или человек с громким голосом.

В пользу второй версии говорит география фамилии. Авгученко встречается почти исключительно в украинском ареале — в Черкасской, Киевской, Полтавской областях. В России она редка, и, как правило, у её носителей украинские корни. Имя Август в украинских сёлах было редкостью, а прозвища от звукоподражаний — обычное дело.

Сравнение с однокоренными фамилиями подтверждает эту картину. Авгук, Авгунов, Авгущенко — все они либо исчезли, либо остались локальными. Фамилия Авгученко, судя по сохранности суффикса и отсутствию русификации, не подверглась переоформлению по московским образцам (вроде Авгуков или Авгугин). Это тоже указывает на её позднее закрепление в украинской среде.

Таким образом, с высокой вероятностью Авгученко — прозвищная фамилия. Предок, которого за голос или манеру говорить прозвали Авгуком, передал это прозвище детям — они стали Авгученками. Фамилия недворянская, крестьянская или казацкая, что типично для этого региона и модели.