Фамилия Авиром — одна из тех, что сразу выбивается из привычного для русского уха звукового ряда. Ни суффикса -ом, ни основы «авир-» в славянской ономастике нет, поэтому искать её корни в прозвищах, ремёслах или именах предков по стандартной модели бессмысленно. Это почти наверняка не славянская, а искусственная или заимствованная фамилия, и её разбор — задача скорее для лингвиста-компаративиста, чем для историка русских родов.

Самая правдоподобная версия — что Авиром это транслитерация или переосмысление фамилии Авирам. Библейское имя Авирам (אבירם) переводится с иврита как «отец возвышен» или «мой отец — великий»: корень «ав» означает отец, «рам» — высокий, возвышенный. В Ветхом Завете Авирам — один из участников бунта против Моисея, что добавляет имени известности в иудейской традиции. Если исходная фамилия звучала как Авиров (с типичным русским окончанием -ов), то при адаптации на слух или под влиянием другого языка она могла перейти в форму Авиром. Встречается фамилия Авирам у еврейских семей, особенно выходцев из стран Ближнего Востока и Северной Африки.

Вторая версия — образование от имени или прозвища Авир — почти несостоятельна. Такого корня в славянских языках нет. Если бы это было русское прозвище, оно строилось бы иначе: например, от слова «вир» (омут) с приставкой получилось бы Завиров или Привиров. Поэтому библейская версия остаётся единственной, заслуживающей серьёзного рассмотрения.

Носители фамилии Авиром в России встречаются единично. Скорее всего, предки были людьми книжными или религиозными, либо фамилия появилась в XX веке при смене паспортных данных или эмиграции. Географически она ни к чему не привязана — это не крестьянская и не дворянская фамилия, а результат индивидуальной адаптации, и её уникальность как раз в том, что она обошла все привычные словообразовательные модели русского языка.