Фамилия Авиром — редкая и нестандартная для русского языка. Её происхождение почти наверняка не славянское, а искусственное или заимствованное. В русской ономастике нет ни суффикса -ом, ни основы «авир-», которые образовывали бы фамилию по привычной модели (от имени, прозвища или профессии). Первое, что приходит в голову — это переосмысление или транслитерация иноязычной фамилии.

Скорее всего, Авиром — это вариант фамилии Авирам, которая восходит к библейскому имени Авирам (אבירם), что значит «отец возвышен» или «мой отец — великий» (от ивритских корней «ав» — отец и «рам» — высокий, возвышенный). В Библии Авирам — один из участников бунта против Моисея. В таком случае окончание -ов в русском варианте (Авиров) перешло в -ом под влиянием какого-то другого языка или просто при адаптации на слух. Встречается фамилия Авирам у еврейских семей, особенно выходцев из стран Ближнего Востока и Северной Африки.

Вторая версия, менее вероятная, — что фамилия образована от имени или прозвища Авир, но такого корня в славянских языках нет. Если бы это было русское прозвище, оно звучало бы как-то иначе, например, от слова «вир» (омут) с приставкой — получилось бы Завиров или Привиров. Поэтому версия с библейским именем выглядит единственно правдоподобной.

Носители фамилии Авиром в России встречаются единично. Скорее всего, предки были людьми книжными или религиозными, либо фамилия появилась в XX веке при смене паспортных данных или эмиграции. Географически она не привязана к какому-то региону — это не крестьянская и не дворянская фамилия, а результат индивидуальной адаптации.