Фамилию Авижиенис стоит начать разбирать с суффикса. Окончание -ис (-is) в литовском языке — типичный показатель мужского рода в именительном падеже. Для фамилий это маркер, по которому безошибочно опознаётся литовское происхождение: в отличие от русских фамилий на -ов/-ев или польских на -ский, литовские фамилии часто сохраняют грамматическую форму существительного или прилагательного. Сама основа Авижиен- восходит к литовскому корню, связанному с обувью и сапожным ремеслом. Наиболее вероятная версия — от глагола avėti («носить обувь, обуваться»). Прозвище Авижена (Avieža, Aviežis) могли дать сапожнику, башмачнику или просто человеку, который ходил в какой-то особой, приметной обуви. В русских говорах есть параллель: прозвище «Авижа» или «Овижа» — тоже от слова, означающего обувь, но в литовской среде это слово закрепилось именно как фамильный корень.

Фамилия редкая даже для Литвы. Это наводит на мысль, что её носители происходят из одного небольшого региона, возможно, из окрестностей Паневежиса или Шяуляя, где встречаются похожие по модели фамилии (Авижюс, Авижа). В русском контексте фамилия могла появиться после присоединения Литвы к Российской империи, когда литовские фамилии записывали в метрики и ревизские сказки. При этом окончание -ис часто русифицировали, но Авижиенис сохранило свою литовскую форму — вероятно, благодаря тому, что носители жили компактно или поздно попали под активную русификацию.

Социальный контекст здесь прозрачен: предки человека с такой фамилией были, скорее всего, ремесленниками или крестьянами. Литовские фамилии на -ис редко встречались у шляхты (те чаще имели окончания -ский, -ич). Поэтому Авижиенис — фамилия демократичная, «народная», указывающая на профессию или бытовую примету. Никаких версий о дворянском происхождении или связи с топонимом здесь нет — корень слишком конкретный и ремесленный. Если носитель фамилии ищет свои корни, стоит смотреть в сторону северной Литвы и архивов по ремесленным цехам XIX века.