Фамилия Авмыв — редчайший случай в русской ономастике, и её происхождение, скорее всего, не связано с исконно славянскими корнями. Если отбросить вероятность описки или искусственного происхождения (например, аббревиатуры, созданной в советское время), то наиболее правдоподобная версия — иноязычная основа, адаптированная русским суффиксом -ыв.

Суффикс -ыв в русских фамилиях — большая редкость. Обычно он встречается в притяжательных прилагательных от личных имён или прозвищ, образованных по модели «чей?» (ср. фамилии типа Козырев, где -ырев — вариант -ов после мягкого согласного). Однако в форме «Авмыв» мы видим чистый суффикс -ыв, что может указывать на основу, оканчивающуюся на твёрдый согласный, но не вписавшуюся в стандартную модель на -ов/-ев. Такое словообразование характерно для некоторых регионов русского Севера (например, архангельские фамилии на -ых, -ово), но не для -ыв.

Если отталкиваться от звучания, основа «Авм» может быть искажением финно-угорского или тюркского имени или прозвища. Например, в коми-пермяцком языке есть слово «ав» — «рот, устье», а «мыв» может быть вариантом «мывк» — «мокрый, сырой». В таком случае прозвище Авмыв могло характеризовать человека, живущего у влажного устья реки, или быть производным от личного имени Авм (редкое, но встречающееся у народов Поволжья). Другая гипотеза — связь с тюркским корнем «ав» (охота, ловля) и суффиксом -мыв, образующим имя деятеля. Тогда Авмыв — это «охотник, ловец».

Третья, менее вероятная версия — искусственное происхождение. В 1920-30-х годах в СССР появлялись фамилии-аббревиатуры или переделанные иностранные фамилии (например, от немецкой фамилии Aumueller). Однако без документальных подтверждений это лишь догадка.

Географически фамилия Авмыв не зафиксирована в крупных ономастических справочниках (Унбегаун, Никонов, Веселовский). Это значит, что она либо очень локальна (единичный род в отдалённой деревне), либо возникла недавно и не попала в статистику. Носителей, судя по открытым данным, почти нет — возможно, это фамилия одной семьи или результат ошибки при записи.

Итог: перед нами нестандартная фамилия, где редкий суффикс -ыв указывает на иноязычную или диалектную основу. Предки носителя могли быть выходцами с Русского Севера или из финно-угорской среды, а их прозвище описывало занятие (охотник) или место жительства (у сырого устья). Без генеалогического поиска точнее сказать сложно.