Фамилия Авшева — женская форма, а её мужской вариант, Авшев, встречается реже. Причина в том, что фамилия образована по модели, типичной для народов Северного Кавказа, где фамилии часто не склоняются по роду так, как в русском языке. В русской же традиции её «дооформили» типичным суффиксом -ев.

Основа фамилии — личное имя Авш. Это краткая форма от полного имени Авшалом, которое восходит к библейскому имени Авессалом (иврит: «отец мира»). В среде горских евреев, а также у осетин и некоторых других народов Кавказа имя Авшалом было распространено, а форма Авш — его усечённый, обиходный вариант. Таким образом, Авшев буквально значит «потомок Авша» или «принадлежащий Авшу».

Географически фамилия привязана к Северному Кавказу: чаще всего она встречается в Дагестане, Чечне, Ингушетии, а также среди горских евреев. В русских переписях XIX века такая фамилия почти не фиксировалась — она вошла в общесоюзный обиход в XX веке, когда кавказские народы получили паспорта с «русифицированными» окончаниями.

Интересная деталь: в отличие от подавляющего большинства русских фамилий на -ев, которые образованы от профессий или прозвищ, Авшев — чисто патронимическая фамилия, то есть построена напрямую от личного имени без промежуточного прозвищного звена. Это сближает её с моделями типа «Иванов» или «Петров», но с той разницей, что имя Авш не входило в православные святцы, поэтому фамилия осталась сугубо региональной.

Споров вокруг этимологии почти нет: версия с Авессаломом — основная и подтверждается данными ономастов, работавших с кавказским антропонимиконом. Альтернативное объяснение (от тюркского «авш» — «охотник») лингвистически слабее, так как не объясняет суффиксальной модели и не подкреплено ареалом бытования.