Фамилия Авьютский — один из тех редких случаев, когда основа не лежит на поверхности, а её происхождение приходится реконструировать по косвенным данным. Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ск(ий). В русской ономастике он почти всегда указывает на географическое происхождение: такую фамилию обычно получали либо по названию поместья, села или города, либо при поступлении в духовное училище, где ученикам нередко давали фамилии, образованные от названий церковных праздников, икон или топонимов. Семнадцать процентов всех русских фамилий на -ский действительно имеют корни в названиях населённых пунктов.

С основой «Авьют-» сложнее. Ближайшая параллель — фамилия Авьютин, которая встречается в северных и центральных областях России. В словаре В. И. Даля «авьюн» — это диалектное слово, означающее «озорник, шалун, вертлявый человек». В этом случае Авьютский могло быть вариантом, возникшим из прозвища Авьюта или Авьютка, которое дали непоседливому или бойкому человеку. Однако суффикс -ский здесь выглядит нехарактерно для чисто прозвищной фамилии: обычно такие основы обрастают -ов или -ин, а -ский прикрепляется к ним уже вторично, если носитель переезжал или его записывали в реестр по месту жительства.

Есть и другая версия, более правдоподобная для фамилии на -ский. В некоторых говорах «авьюга» — то же, что вьюга, метель. Тогда Авьютский мог означать «житель деревни Авьюги» или «выходец с места, где часто бывают метели». В писцовых книгах XVII века встречаются названия починков и пустошей с корнем «вьюг-» или «авьюг-», например, Вьюгино, Авьюгино. От такого топонима и могла образоваться фамилия.

Обратите внимание на ударение: в фамилии Авьютский оно, скорее всего, падает на первый слог — А́вьютский, что подтверждает связь с прозвищем или названием, а не с поздним книжным заимствованием. Если бы фамилия была искусственной, семинарской, ударение часто ставили бы на последний слог по польскому образцу, но здесь этого нет.

Таким образом, наиболее вероятно, что Авьютский — это фамилия, возникшая от прозвища Авьюта (шалун, вертлявый) или от топонима Авьюги, Авьютино. Встречается она крайне редко, в основном в записях конца XIX — начала XX века по Владимирской и Ярославской губерниям. Носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами, получившими фамилию по месту прежнего жительства или по уличному прозвищу.