Фамилия Авьюцкий — редкий пример, где географическая основа почти наверняка перевешивает прозвищную. Её ядро — Авьюц-, и здесь напрашивается связь с топонимом. На слуху несколько деревень с похожими названиями: Авьюг (бывшая деревня в Вологодской области) или Авьюк (исчезнувший хутор в том же регионе). Суффикс -цк- (в варианте -ский) типичен для фамилий, образованных от названия места: человек из Авьюга или Авьюка становился Авьюцким. Такая модель характерна для польской и западнорусской традиции, где -ский указывало на дворянское или шляхетское происхождение, но на Русском Севере этот суффикс часто носил чисто географический оттенок, без сословной нагрузки. Вологодчина — регион, где фамилии на -цкий встречаются нечасто, и Авьюцкий мог закрепиться за выходцем из одного из этих исчезнувших поселений.

Менее вероятная, но допустимая версия — от прозвища Авьюк, связанного с глаголом «авьючить» (носить, таскать тяжести) или диалектным «авьюга» (вьюга, метель). В первом случае прозвище мог получить носильщик или работяга, во втором — человек, родившийся в непогоду или с беспокойным нравом. Однако суффикс -цкий плохо сочетается с прозвищной основой: обычно прозвища давали фамилии на -ов/-ев или -ин. Поэтому версия с топонимом выглядит убедительнее.

В словообразовательном плане фамилия прошла через чередование г/ц: основа Авьюг → Авьюц- + -кий. Такое чередование — обычное для русского языка при образовании прилагательных (ср. «друг — друцкий»). Фамилия не имеет патронимического суффикса (как -ович), она сразу фиксирует принадлежность к месту. Встречается она крайне редко: по открытым данным, носители сосредоточены в Вологодской и Архангельской областях, что косвенно подтверждает северное происхождение. Социальный контекст: скорее всего, предки были крестьянами или мещанами, а не дворянами, так как в родословных книгах эта фамилия не упоминается. Споров о корне почти нет — лингвисты сходятся на топонимической основе, отбрасывая экзотические версии вроде связи с «авью» (белорусское «ой»).