Фамилия Азагильдина — редкий случай, в котором сплелись тюркская основа и русский суффикс. В отличие от большинства фамилий на -ин, образованных от крестильных имён (Иван — Иванов), эта фамилия почти наверняка имеет мусульманские корни. Разбираем её по частям.

Корень «Азагильд» восходит к арабскому имени Абдуль-Гани, что означает «раб Всемилостивого» (аль-Гани — одно из имён Аллаха). В тюркской среде, особенно у башкир и татар, это имя произносили как Абдулгани, а в быту редуцировали до «Азагиль» или «Азгиль». Вторая часть фамилии — суффикс -ин, указывающий на принадлежность: «чей?» — Азагильдин, то есть потомок человека по имени Азагильда. Так исходное имя предка звучало как Азагильда (или Азгильда) — народная форма от Абдулгани.

Азагильдина — женская форма, мужской вариант — Азагильдин. По всем признакам, это фамилия, типичная для башкир или татар (особенно мишарей). Географически она встречается в Челябинской области, Башкортостане и соседних регионах, где сильно влияние ислама и тюркских наречий. В русских документах XIX — начала XX века такие фамилии часто фиксировали именно с окончанием -ин, поскольку оно было привычным для русского уха и грамматически встраивалось в систему отчеств.

Фамилия почти не имеет аналогов в славянском именослове. Она не происходит от прозвища или ремесла — её прямая основа это личное имя. Это ставит её в один ряд с такими фамилиями, как Абдуллин, Ахметшин или Галиуллин. Суффикс -дин здесь не стоит путать с персидским «дин» (вера) — в данном случае это чисто русский морфологический элемент, который «приклеился» к тюркскому корню.

Если ваш предок носил фамилию Азагильдин, он с высокой вероятностью был мусульманином, жил на Южном Урале или в Поволжье, а его деда звали Азагильдой — сокращённым именем от Абдулгани. Фамилия не получила широкого распространения, поэтому носители Азагильдиной, скорее всего, являются родственниками или выходцами из одного компактного села.