Фамилия Азагильдина — редкий и очень интересный случай, в котором сплелись сразу несколько языковых традиций. В отличие от большинства русских фамилий на -ин, образованных от крестильных имён (Иван — Иванов, Ильин), эта фамилия почти наверняка имеет тюркское происхождение, а её основа связана с мусульманским миром.

Разбираем корень «Азагильд». Скорее всего, он восходит к арабскому имени Абдуль-Гани (или его диалектной форме), что означает «раб Всемилостивого» (аль-Гани — одно из имён Аллаха). В тюркских языках, особенно в башкирской и татарской среде, это имя могло произноситься как Абдулгани, а в бытовой речи редуцироваться до «Азагиль» или «Азгиль». Вторая часть «-дин» в фамилии — это, вероятно, русский суффикс -ин, указывающий на принадлежность: «чей?» — Азагильдин, то есть потомок Азагильды. Таким образом, исходное имя предка звучало как Азагильда (или Азгильда), что является народной формой от Абдулгани.

Фамилия Азагильдина — женская форма. Мужской вариант — Азагильдин. По всем признакам, это фамилия, типичная для башкир или татар (особенно мишарей). Географически она встречается в Челябинской области, Башкортостане и соседних регионах, где сильно влияние ислама и тюркских наречий. В русских документах XIX — начала XX века такие фамилии часто фиксировались именно с окончанием -ин, поскольку оно было привычным для русского уха и грамматически встраивалось в систему отчеств.

Что интересно: фамилия почти не имеет аналогов в славянском именослове. Она не происходит от прозвища или ремесла — её прямая основа это личное имя. Это ставит её в один ряд с такими фамилиями, как Абдуллин, Ахметшин или Галиуллин. Суффикс -дин здесь не стоит путать с персидским «дин» (вера) — в данном случае это чисто русский морфологический элемент, который «приклеился» к тюркскому корню.

Если ваш предок носил фамилию Азагильдин, он с высокой вероятностью был мусульманином, жил на Южном Урале или в Поволжье, а его деда звали Азагильдой — сокращённым именем от Абдулгани. Фамилия не получила широкого распространения, поэтому носители Азагильдиной, скорее всего, являются родственниками или выходцами из одного компактного села.