Фамилия Азакиши — редкий случай в русском ономастиконе, и её разбор стоит начать не с привычного суффикса, а с того, чего в ней нет. В ней нет славянского патронимического окончания — ни -ов, ни -ин, ни -ский. Это «голая» основа, которая перешла в русский обиход без изменений. Такой строй сразу указывает на тюркское происхождение и на относительно позднее закрепление фамилии: скорее всего, она фиксировалась уже в советских паспортных столах, а не в старых писцовых книгах или ревизских сказках.

Основа фамилии — составное прозвище из двух частей. Вторая часть, «киши», прозрачна для тюркских языков (азербайджанского, турецкого): она означает «человек», «мужчина». Первая часть, «Аза», может иметь два объяснения. Либо это личное имя Аза, которое в ряде тюркских языков связано со значением «мало», «небольшой», либо арабский корень со значением «утешение» или «свобода». В тюркской традиции такие составные прозвища часто давали приезжим или подчёркивали родство: «Аза-киши» могло означать «человек по имени Аза», «муж Азы» или «тот, кто из рода Азы».

Географически фамилию стоит искать в регионах с тюркским населением — в Закавказье, на Северном Кавказе, в Поволжье или среди азербайджанских общин. Встретить её в дореволюционных документах маловероятно: она бытовала в устной форме и закрепилась как фамилия уже в XX веке, когда представители тюркских народов получали фамилии по имени отца или по прозвищу без добавления славянского суффикса. Других, славянских, версий происхождения у «Азакиши» нет — это чисто тюркская конструкция. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был носителем тюркского языка и культуры, и фамилия сохранила его личное или родовое прозвище.