Фамилия Азакиши — редкий случай в русском ономастиконе. Её основа не славянская, и сам строй фамилии выбивается из привычных моделей на -ов, -ин или -ский. Скорее всего, перед нами фамилия, которая пришла в русский язык из тюркских языков, возможно, из азербайджанского или турецкого, где распространены имена и прозвища с компонентом «киши» — «человек», «мужчина».

Первая часть «Аза» может восходить к тюркскому имени Аза (в ряде языков означает «мало», «небольшой», а также встречается как личное имя) или к арабскому корню, связанному с понятием «утешение», «свобода». Таким образом, Азакиши буквально переводится как «человек по имени Аза» или «муж Азы». В тюркской традиции такие составные прозвища нередко давали приезжим или подчёркивали родство: «Аза-киши» мог означать «тот, кто из рода Азы» или «человек, которого называют Азой».

В русскую фамильную систему это слово попало, скорее всего, через фиксацию в документах XIX — начала XX века, когда представители тюркских народов Российской империи получали фамилии по имени отца или по прозвищу, часто без добавления славянского суффикса. Фамилия Азакиши — пример такой «голой» основы, которая не изменилась при переходе в русский обиход. Географически её стоит искать в регионах с тюркским населением: в Закавказье, на Северном Кавказе, в Поволжье или среди азербайджанских общин.

Суффиксальный анализ здесь не работает — фамилия не имеет славянского патронимического окончания. Это указывает на её относительно позднее закрепление и на то, что носители фамилии, вероятно, не были вписаны в традиционную русскую сословную систему (дворянство, купечество) до XX века. Встретить фамилию Азакиши в старых писцовых книгах или ревизских сказках маловероятно — она бытовала в устной форме и фиксировалась уже в советских паспортных столах.

Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был носителем тюркского языка и культуры, и фамилия сохранила для нас его личное или родовое прозвище. Других, славянских, версий происхождения у «Азакиши» нет — это чисто тюркская конструкция, которая осталась в русском языке без перевода и без добавления суффиксов.