Фамилия Азапшев — редкая и территориально привязанная. Её основа, суффикс и география указывают на происхождение из тюркоязычной среды, скорее всего, с Северного Кавказа.

Разбираем словообразовательную модель. Суффикс -ев указывает на русскую модель образования фамилии от отчества или прозвища. Основа — Азапш. В тюркских языках (кумыкском, ногайском, карачаево-балкарском) слово «азап» означает «мучение», «страдание», «тяжёлый труд». Суффикс -ш (-чи, -чы) в тюркских языках — показатель профессии или деятеля. Таким образом, Азапш (или Азапчы) — это «мученик», «страдалец» или, что вероятнее, «человек, выполняющий тяжёлую работу», «работяга», «труженик». Прозвище могли дать человеку с тяжёлой судьбой или тому, кто не боялся каторжного труда.

География фамилии подтверждает эту версию. Азапшевы встречаются преимущественно в Кабардино-Балкарии и соседних регионах — в зоне распространения тюркских языков. В русских документах фамилия могла оформиться при переписях, когда носителю тюркского прозвища Азапш добавили русский патронимический суффикс -ев.

Версия о связи с арабским словом «азаб» (наказание) маловероятна для фамилии: в тюркских языках «азап» имеет бытовое, а не религиозное значение. Также нет оснований связывать фамилию с кавказским топонимом — ни одного населённого пункта с таким названием не зафиксировано.

Итог: Азапшев — фамилия тюркского происхождения, образованная от прозвища, указывающего на тяжёлый труд или тяжёлую участь. Предки носителя — вероятно, выходцы с Северного Кавказа, получившие фамилию при русификации документов в XIX–XX веках.