Фамилия Азапшев — редкая, с чёткой географической привязкой. Её основа, суффикс и ареал бытования уверенно указывают на тюркское происхождение, скорее всего, с Северного Кавказа. Разбираем словообразовательную модель: русский патронимический суффикс -ев присоединён к основе Азапш. В тюркских языках (кумыкском, ногайском, карачаево-балкарском) слово «азап» означает «мучение», «страдание», «тяжёлый труд». К нему добавлен тюркский суффикс деятеля -ш (-чи, -чы). Таким образом, Азапш (или Азапчы) — это «мученик», «страдалец», но в бытовом, а не религиозном смысле. Вероятнее, прозвище означало «человек, выполняющий тяжёлую работу», «работяга», «труженик». Его могли дать либо тому, кто не боялся каторжного труда, либо человеку с действительно тяжёлой судьбой.

География фамилии подтверждает эту версию: Азапшевы встречаются преимущественно в Кабардино-Балкарии и соседних регионах — в зоне распространения тюркских языков. В русских документах фамилия оформилась при переписях, когда носителю тюркского прозвища Азапш добавили русский патронимический суффикс -ев. Версия о связи с арабским словом «азаб» (наказание) для этой фамилии маловероятна: в тюркских языках «азап» имеет именно бытовое, житейское значение. Также нет оснований связывать фамилию с кавказским топонимом — ни одного населённого пункта с таким названием не зафиксировано.

Итог: Азапшев — фамилия тюркского происхождения, образованная от прозвища, указывающего на тяжёлый труд или нелёгкую участь. Предки носителя — вероятно, выходцы с Северного Кавказа, получившие фамилию при русификации документов в XIX–XX веках.